Теория вероятности
Краткие ответы
- а) среднее — \(12\), медиана — \(13\), размах — \(10\);
б) среднее — \(15\), медиана — \(15\), размах — \(10\). - Среднее арифметическое — \(11\), дисперсия — \(34\).
- \(105\) способов.
- \(39\) способов.
- а) \(16\) чисел; б) \(12\) чисел.
- \(216\) вариантов.
1. Среднее, медиана и размах
а) Ряд: \(7, 14, 17, 13, 8, 9, 16\).
Сумма: \[ 7+14+17+13+8+9+16=84 \] Элементов \(7\), значит: \[ \text{среднее}=\frac{84}{7}=12 \]
Упорядочим ряд: \[ 7,8,9,13,14,16,17 \] Медиана — средний элемент, то есть \(13\).
Размах: \[ 17-7=10 \]
б) Ряд: \(16,20,10,18,12,14\).
Сумма: \[ 16+20+10+18+12+14=90 \] Элементов \(6\): \[ \text{среднее}=\frac{90}{6}=15 \]
Упорядочим: \[ 10,12,14,16,18,20 \] Медиана — среднее двух центральных чисел: \[ \frac{14+16}{2}=15 \]
Размах: \[ 20-10=10 \]
2. Дисперсия
Набор: \[ 11,20,9,6,18,15,2,7 \]
Сумма: \[ 11+20+9+6+18+15+2+7=88 \] Количество чисел \(8\), поэтому среднее: \[ \bar x=\frac{88}{8}=11 \]
Теперь отклонения от среднего и их квадраты:
| \(x_i\) | 11 | 20 | 9 | 6 | 18 | 15 | 2 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x_i-\bar x\) | 0 | 9 | \(-2\) | \(-5\) | 7 | 4 | \(-9\) | \(-4\) |
| \((x_i-\bar x)^2\) | 0 | 81 | 4 | 25 | 49 | 16 | 81 | 16 |
Сумма квадратов отклонений: \[ 0+81+4+25+49+16+81+16=272 \]
Дисперсия — это среднее арифметическое квадратов отклонений: \[ D=\frac{272}{8}=34 \]
Проверка: сумма отклонений должна быть равна нулю: \[ 0+9-2-5+7+4-9-4=0 \] Всё верно.
3. Розы, гвоздики и тюльпаны
Выбираем одну розу, одну гвоздику и один тюльпан. По правилу умножения: \[ 5\cdot 7\cdot 3=105 \]
Ответ: \(105\) способов.
4. Солдат и офицер
Одного солдата можно выбрать \(13\) способами, одного офицера — \(3\) способами: \[ 13\cdot 3=39 \]
Ответ: \(39\) способов.
5. Двузначные числа
а) Цифры \(2,1,7,6\). На первое место можно поставить любую из \(4\) цифр, на второе — тоже любую из \(4\), так как цифры могут повторяться: \[ 4\cdot 4=16 \]
б) Цифры \(5,4,9,0\). На первое место нельзя ставить \(0\), иначе число не будет двузначным. Значит, для первой цифры есть \(3\) варианта: \(5,4,9\). Для второй — любые \(4\) цифры: \[ 3\cdot 4=12 \]
6. Варианты обеда
Первое блюдо — \(9\) вариантов, второе — \(6\), третье — \(4\). По правилу умножения: \[ 9\cdot 6\cdot 4=216 \]
Ответ: \(216\) вариантов.
Главный принцип: если выбираем по одному объекту из нескольких независимых групп, количество вариантов перемножается.
Обсуждение
2 сообщенияОтклонение от среднего
Отклонение от среднего
Отклонение — это разность между конкретным значением и средним арифметическим всего набора:
\[ d_i=x_i-\bar x \]
Оно показывает, насколько число больше или меньше среднего. Если \(d_i>0\) — значение выше среднего, если \(d_i<0\) — ниже, если \(d_i=0\) — совпадает со средним.
Пример (тот же набор из задачи 2)
\[ 11,\ 20,\ 9,\ 6,\ 18,\ 15,\ 2,\ 7 \]
Среднее мы уже нашли: \[ \bar x=11 \]
Считаем отклонения \(x_i-\bar x\):
| \(x_i\) | 11 | 20 | 9 | 6 | 18 | 15 | 2 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(d_i=x_i-\bar x\) | \(0\) | \(9\) | \(-2\) | \(-5\) | \(7\) | \(4\) | \(-9\) | \(-4\) |
Например: \[ 20-11=9 \quad\text{(на 9 больше среднего)} \] \[ 6-11=-5 \quad\text{(на 5 меньше среднего)} \]
Главное свойство: сумма отклонений всегда равна нулю
\[ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)=0 \]
Проверим на нашем наборе: \[ 0+9-2-5+7+4-9-4=0 \]
Почему так? Среднее — это «точка равновесия»: положительные отклонения (числа выше среднего) в точности уравновешивают отрицательные (числа ниже среднего). Поэтому усреднять сами отклонения бессмысленно — всегда получится \(0\).
Зачем тогда нужны квадраты отклонений
Раз сумма отклонений нулевая, в дисперсии их возводят в квадрат — так все слагаемые становятся неотрицательными и «минусы» не уничтожают «плюсы»:
\[ D=\frac{(x_1-\bar x)^2+(x_2-\bar x)^2+\dots+(x_n-\bar x)^2}{n} \]
В нашем примере: \[ D=\frac{0^2+9^2+(-2)^2+(-5)^2+7^2+4^2+(-9)^2+(-4)^2}{8} =\frac{272}{8}=34 \]
Квадрат стирает знак: \((-5)^2=25\), \((7)^2=49\).
Ещё одна мера — среднее абсолютное отклонение
Иногда берут не квадраты, а модули отклонений:
\[ \frac{|d_1|+|d_2|+\dots+|d_n|}{n} \]
Для нашего набора: \[ \frac{0+9+2+5+7+4+9+4}{8}=\frac{40}{8}=5 \]
То есть в среднем числа отстоят от среднего на \(5\). Здесь модуль тоже снимает знак, но большие выбросы не «раздуваются» так сильно, как в дисперсии.
Коротко о смысле
- Отклонение \(x_i-\bar x\) — насколько число отличается от среднего (со знаком).
- Сумма всех отклонений = 0 — всегда, это проверка правильности расчётов.
- Дисперсия — среднее квадратов отклонений, показывает разброс.
- Стандартное отклонение \(\sigma=\sqrt{D}\) — разброс в тех же единицах, что и данные. В примере \(\sigma=\sqrt{34}\approx5{,}83\).
Если нужно, разберём, как отклонения помогают сравнивать два набора с одинаковым средним, но разным разбросом.
