реши задачу
Ответы для всех трёх вариантов:
| Вариант | а | б | в | г | д | е | ж | з |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | чёт. | чёт. | нечёт. | ни | чёт. | нечёт. | ни | чёт. |
| 2 | чёт. | чёт. | нечёт. | чёт. | чёт. | нечёт. | ни | ни |
| 3 | нечёт. | чёт. | чёт. | ни | чёт. | нечёт. | ни | чёт. |
«Ни» — ни чётная, ни нечётная.
Как это определяется
- Область определения функции должна быть симметрична относительно нуля: если \(x\) входит в область, то и \(-x\) должен входить.
- Затем подставляем \(-x\):
- если \(f(-x)=f(x)\) — функция чётная;
- если \(f(-x)=-f(x)\) — нечётная;
- если не выполняется ни то, ни другое — ни чётная, ни нечётная.
Например:
\(f(x)=x^4\): \[ f(-x)=(-x)^4=x^4=f(x), \] значит, функция чётная.
\(f(x)=3x^7\): \[ f(-x)=3(-x)^7=-3x^7=-f(x), \] значит, функция нечётная.
\(f(x)=2x^3+x^{16}+1\): \[ f(-x)=-2x^3+x^{16}+1. \] Это не равно ни \(f(x)\), ни \(-f(x)\), поэтому функция ни чётная, ни нечётная.
Для дробей тоже удобно подставлять \(-x\). Например: \[ f(x)=\frac{x^8+6}{4x^5}. \] Тогда \[ f(-x)=\frac{x^8+6}{-4x^5}=-f(x), \] значит, функция нечётная.
Отдельно про «ловушки» с областью определения: например, в варианте 1 ж) знаменатель \(3x-9\) обращается в ноль при \(x=3\), но \(x=-3\) допустим. Область определения не симметрична, поэтому функция сразу не может быть ни чётной, ни нечётной.
Обсуждение
6 сообщенийПо фото полностью видны варианты 1 и 2. Ответы:
| Вариант 1 | а | б | в | г | д | е | ж | з |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Тип функции | чётная | чётная | нечётная | ни | чётная | нечётная | ни | чётная |
| Вариант 2 | а | б | в | г | д | е | ж | з |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Тип функции | чётная | чётная | нечётная | чётная | чётная | нечётная | ни | ни |
«Ни» — ни чётная, ни нечётная.
Коротко о ключевых пунктах:
В 1 з) и 2 г): \[ (x-4)-(x-2)=-2,\qquad (6-x)-(8-x)=-2. \] Постоянная функция \(f(x)=-2\) является чётной.
В 1 ж) область определения: \(3x-9\ne0\), то есть \(x\ne3\). Но \(x=-3\) допустим, значит, область определения не симметрична относительно нуля. Поэтому функция ни чётная, ни нечётная.
В 2 ж): \[ x^{12}-4x^9=x^9(x^3-4). \] Область определения несимметрична, поэтому функция также ни чётная, ни нечётная.
В 1 г) и 2 з) при подстановке \(-x\) получается выражение, не равное ни \(f(x)\), ни \(-f(x)\), поэтому такие функции тоже ни чётные, ни нечётные.
В варианте 3 на фото виден только заголовок; если нужно решить и его, пришлите нижнюю часть изображения.
Реши 1 и 2 вариант полностью с ответами
Реши 1 и 2 вариант полностью с ответами
Критерий:
- \(f(-x)=f(x)\) — функция чётная;
- \(f(-x)=-f(x)\) — функция нечётная;
- если не выполняется ни одно из условий — функция ни чётная, ни нечётная.
Также область определения должна быть симметрична относительно нуля.
Вариант 1
а)
\[
f(-x)=(-x)^4=x^4=f(x)
\]
Функция чётная.
б)
\[
f(-x)=3(-x)^2+(-x)^{10}=3x^2+x^{10}=f(x)
\]
Функция чётная.
в)
\[
f(-x)=3(-x)^7=-3x^7=-f(x)
\]
Функция нечётная.
г)
\[
f(-x)=2(-x)^3+(-x)^{16}+1=-2x^3+x^{16}+1
\]
Это не равно ни \(f(x)\), ни \(-f(x)\).
Функция ни чётная, ни нечётная.
д)
\[
f(-x)=-4(-x)^{12}=-4x^{12}=f(x)
\]
Функция чётная.
е)
\[
f(-x)=\frac{(-x)^8+6}{4(-x)^5}
=\frac{x^8+6}{-4x^5}
=-\frac{x^8+6}{4x^5}=-f(x)
\]
Функция нечётная.
ж)
\[
f(x)=\frac{x^{13}-2x^2}{3x-9}
\]
Область определения: \(3x-9\ne0\), то есть \(x\ne3\).
Область определения несимметрична относительно нуля \(\Rightarrow\) функция ни чётная, ни нечётная.
з)
\[
f(x)=(x-4)-(x-2)=x-4-x+2=-2
\]
Получилась постоянная функция:
\[
f(-x)=-2=f(x)
\]
Функция чётная.
Ответы для варианта 1
| а | б | в | г | д | е | ж | з |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| чётная | чётная | нечётная | ни | чётная | нечётная | ни | чётная |
Вариант 2
а)
\[
f(-x)=-3(-x)^6=-3x^6=f(x)
\]
Функция чётная.
б)
\[
f(-x)=(-x)^{14}+21(-x)^{10}=x^{14}+21x^{10}=f(x)
\]
Функция чётная.
в)
\[
f(-x)=8(-x)^{15}=-8x^{15}=-f(x)
\]
Функция нечётная.
г)
\[
f(x)=(6-x)-(8-x)=6-x-8+x=-2
\]
\[
f(-x)=-2=f(x)
\]
Функция чётная.
д)
\[
f(-x)=(-x)^{12}=x^{12}=f(x)
\]
Функция чётная.
е)
\[
f(-x)=\frac{3(-x)}{(-x)^6+2}
=\frac{-3x}{x^6+2}
=-f(x)
\]
Функция нечётная.
ж)
\[
f(x)=\frac{3x-12}{x^{12}-4x^9}
\]
Знаменатель обращается в ноль при:
\[
x^{12}-4x^9=x^9(x^3-4)=0
\]
то есть при
\[
x=0,\quad x=\sqrt[3]{4}.
\]
Область определения несимметрична относительно нуля, поэтому функция ни чётная, ни нечётная.
з)
\[
f(x)=x^4+5x^{21}+2
\]
\[
f(-x)=(-x)^4+5(-x)^{21}+2=x^4-5x^{21}+2
\]
Это не равно ни \(f(x)\), ни \(-f(x)\).
Функция ни чётная, ни нечётная.
Ответы для варианта 2
| а | б | в | г | д | е | ж | з |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| чётная | чётная | нечётная | чётная | чётная | нечётная | ни | ни |
Ниже — полное решение обоих вариантов с проверкой по определению.
Вариант 1
а)
\[
f(x)=x^4,\quad f(-x)=(-x)^4=x^4=f(x)
\]
Функция чётная.
б)
\[
f(x)=3x^2+x^{10},\quad f(-x)=3x^2+x^{10}=f(x)
\]
Функция чётная.
в)
\[
f(x)=3x^7,\quad f(-x)=3(-x)^7=-3x^7=-f(x)
\]
Функция нечётная.
г)
\[
f(x)=2x^3+x^{16}+1
\]
\[
f(-x)=-2x^3+x^{16}+1
\]
Это не равно ни \(f(x)\), ни \(-f(x)\).
Функция ни чётная, ни нечётная.
д)
\[
f(x)=-4x^{12},\quad f(-x)=-4(-x)^{12}=-4x^{12}=f(x)
\]
Функция чётная.
е)
\[
f(x)=\frac{x^8+6}{4x^5}
\]
\[
f(-x)=\frac{(-x)^8+6}{4(-x)^5}
=\frac{x^8+6}{-4x^5}
=-f(x)
\]
Функция нечётная.
ж)
\[
f(x)=\frac{x^{13}-2x^2}{3x-9}
\]
Область определения: \(3x-9\ne0\), то есть \(x\ne3\).
Область определения несимметрична относительно нуля, поэтому функция ни чётная, ни нечётная.
з)
\[
f(x)=(x-4)-(x-2)=x-4-x+2=-2
\]
\[
f(-x)=-2=f(x)
\]
Функция чётная.
Вариант 2
а)
\[
f(x)=-3x^6,\quad f(-x)=-3(-x)^6=-3x^6=f(x)
\]
Функция чётная.
б)
\[
f(x)=x^{14}+21x^{10}
\]
\[
f(-x)=(-x)^{14}+21(-x)^{10}=x^{14}+21x^{10}=f(x)
\]
Функция чётная.
в)
\[
f(x)=8x^{15},\quad f(-x)=8(-x)^{15}=-8x^{15}=-f(x)
\]
Функция нечётная.
г)
\[
f(x)=(6-x)-(8-x)=6-x-8+x=-2
\]
\[
f(-x)=-2=f(x)
\]
Функция чётная.
д)
\[
f(x)=x^{12},\quad f(-x)=(-x)^{12}=x^{12}=f(x)
\]
Функция чётная.
е)
\[
f(x)=\frac{3x}{x^6+2}
\]
\[
f(-x)=\frac{-3x}{(-x)^6+2}
=\frac{-3x}{x^6+2}
=-f(x)
\]
Функция нечётная.
ж)
\[
f(x)=\frac{3x-12}{x^{12}-4x^9}
\]
Знаменатель:
\[
x^{12}-4x^9=x^9(x^3-4)
\]
Нули знаменателя: \(x=0\) и \(x=\sqrt[3]{4}\).
Область определения несимметрична относительно нуля, поэтому функция ни чётная, ни нечётная.
з)
\[
f(x)=x^4+5x^{21}+2
\]
\[
f(-x)=x^4-5x^{21}+2
\]
Это не равно ни \(f(x)\), ни \(-f(x)\).
Функция ни чётная, ни нечётная.
Ответы
| Вариант | а | б | в | г | д | е | ж | з |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | чётная | чётная | нечётная | ни | чётная | нечётная | ни | чётная |
| 2 | чётная | чётная | нечётная | чётная | чётная | нечётная | ни | ни |
«Ни» означает: ни чётная, ни нечётная.
