3 задание
Краткий ответ: равенство верно, так как оба интеграла равны \(6\).
Подробный разбор:
Чтобы доказать равенство \(\int_0^2 3x\,dx = \int_1^4 \frac{3\,dx}{\sqrt{x}}\), вычислим левую и правую части отдельно по формуле Ньютона-Лейбница: \(\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\).
Шаг 1. Левая часть. Найдём первообразную для \(3x\). По правилу \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\), получаем: \[ F(x) = \frac{3x^2}{2} \] Подставляем пределы от \(0\) до \(2\): \[ \int_0^2 3x\,dx = \left. \frac{3x^2}{2} \right|_0^2 = \frac{3 \cdot 2^2}{2} - \frac{3 \cdot 0^2}{2} = 6 - 0 = 6 \]
Шаг 2. Правая часть. Запишем подынтегральную функцию в виде степени: \(\frac{3}{\sqrt{x}} = 3x^{-1/2}\). Находим первообразную: \[ F(x) = 3 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} = 6\sqrt{x} \] Подставляем пределы от \(1\) до \(4\): \[ \int_1^4 \frac{3\,dx}{\sqrt{x}} = \left. 6\sqrt{x} \right|_1^4 = 6\sqrt{4} - 6\sqrt{1} = 6 \cdot 2 - 6 \cdot 1 = 12 - 6 = 6 \]
Шаг 3. Сравнение. Левая часть равна \(6\), правая часть равна \(6\). Так как \(6=6\), справедливость равенства доказана.
Что важно понять для похожих заданий:
- Определённый интеграл — это число, поэтому для проверки равенства двух интегралов достаточно вычислить каждый по отдельности.
- Корни удобно записывать в виде дробных степеней (например, \(\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}\)), чтобы применять формулу \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\).
- Верхний и нижний пределы подставляются в первообразную, и из значения на верхнем пределе вычитается значение на нижнем.
Обсуждение
2 сообщениянемного короче сделай
Кратко: оба интеграла равны \(6\), значит равенство верно.
Левая часть: \[ \int_0^2 3x\,dx=\left.\frac{3x^2}{2}\right|_0^2=6-0=6 \]
Правая часть: \(\frac{3}{\sqrt{x}}=3x^{-1/2}\), первообразная \(6\sqrt{x}\): \[ \int_1^4 \frac{3\,dx}{\sqrt{x}}=\left.6\sqrt{x}\right|_1^4=6\cdot2-6\cdot1=6 \]
Вывод: \(6=6\), равенство доказано.
Принцип: определённый интеграл считаем по формуле Ньютона–Лейбница \(F(b)-F(a)\); корни удобно переводить в дробные степени.
