Лабораторная работа исследование зависимости периода малых колебаний груза на нити от длины нити в массы груза
Краткий ответ
Для малых колебаний груза на нити (математического маятника):
\[ T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}, \qquad T^2=\frac{4\pi^2}{g}\,l. \]
Отсюда:
- при увеличении длины нити \(l\) период растёт: \(T\propto \sqrt l\);
- график \(T(l)\) — не прямая, а ветвь «корня»;
- график \(T^2(l)\) — прямая, проходящая через начало координат;
- от массы груза период не должен зависеть, если груз компактный, нить нерастяжимая, а колебания малые.
Числовой результат зависит от твоих измерений. Без таблицы измерений можно объяснить методику и то, какой результат должен получиться.
Почему так получается
При малом угле отклонения \(\alpha\):
\[ \sin\alpha\approx \alpha. \]
Возвращающая сила:
\[ F\approx -mg\alpha. \]
Но отклонение по дуге \(x=l\alpha\), значит \(\alpha=x/l\). Тогда:
\[ F\approx -mg\frac{x}{l}. \]
По второму закону Ньютона:
\[ ma=-mg\frac{x}{l} \quad\Rightarrow\quad a=-\frac{g}{l}x. \]
Это уравнение гармонических колебаний вида \(a=-\omega^2 x\), где
\[ \omega^2=\frac{g}{l}. \]
Поэтому:
\[ T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}. \]
Масса \(m\) сокращается: более тяжёлый груз имеет большую инертность, но и большая возвращающая сила действует на него. Поэтому при одинаковой длине и одинаковой форме грузов период практически одинаков.
Что делать в лабораторной
1. Исследование зависимости от длины нити
Массу груза оставляй постоянной. Меняй длину \(l\) — например, от \(0{,}3\) до \(1{,}0\) м.
Длину измеряй от точки подвеса до центра масс груза, а не только длину нити.
Для каждого значения:
- отклони маятник на малый угол, примерно \(5^\circ\)—\(10^\circ\), и отпусти без толчка;
- измерь время \(t\) нескольких полных колебаний, например \(N=20\) или \(30\);
- вычисли период: \[ T=\frac{t}{N}. \]
- повтори измерение 2–3 раза и усредни;
- посчитай \(T^2\).
Таблица может быть такой:
| № | \(l\), м | \(m\), кг | \(N\) | \(t\), с | \(T=t/N\), с | \(T^2\), с² |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 20 | |||||
| 2 | 20 |
2. Исследование зависимости от массы
Теперь длину нити оставляй постоянной, а массу груза меняй. Лучше брать грузы одинаковой формы и примерно одинакового размера, чтобы менялась именно масса, а не длина до центра масс.
| № | \(m\), кг | \(l\), м | \(N\) | \(t\), с | \(T=t/N\), с |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 20 | ||||
| 2 | 20 | ||||
| 3 | 20 |
Как обработать результаты
Для зависимости от длины
Построй график \(T^2\) от \(l\). Должна получиться прямая. Если прямая проходит через начало координат, то
\[ T^2=\frac{4\pi^2}{g}l. \]
Угловой коэффициент этой прямой:
\[ k=\frac{4\pi^2}{g}. \]
Тогда ускорение свободного падения:
\[ g=\frac{4\pi^2}{k}. \]
Можно также для каждой длины найти:
\[ g=\frac{4\pi^2 l}{T^2}. \]
И сравнить полученное среднее значение с табличным \(9{,}8\ \text{м/с}^2\).
Проверка пропорциональности: если увеличить длину в 4 раза, период должен увеличиться примерно в 2 раза, потому что \(T\propto\sqrt l\).
Для зависимости от массы
При постоянной длине значения периода для разных масс должны отличаться лишь в пределах погрешности. Можно сравнить:
\[ \frac{|T_i-T_{\text{ср}}|}{T_{\text{ср}}}\cdot 100\%. \]
Если отклонения не больше приборной и случайной погрешности, делаем вывод: период от массы не зависит.
Какой вывод написать
Подойдёт такая формулировка:
При малых колебаниях период груза на нити увеличивается с ростом длины нити, причём \(T\propto\sqrt l\). График зависимости \(T^2(l)\) оказался близок к прямой. Период практически не зависит от массы груза: наблюдаемые различия лежат в пределах погрешности измерений. Полученное по формуле \(g=4\pi^2 l/T^2\) значение ускорения свободного падения близко к табличному, что подтверждает модель математического маятника для малых углов.
Если масса всё-таки заметно влияет на период, причины могут быть такими: грузы имеют разные размеры, нить растягивается, колебания не малые, маятник качается не в одной плоскости, есть заметное сопротивление воздуха.
Обсуждение
4 сообщениядлина нити 1. 0.25 м 2.0.5 3.0.75 масса кг 1.0.1 2.0.1 3.0.1 10 колебаний в каждом найти период для трех и период средний
По твоим данным не хватает времени \(t\), за которое совершаются 10 колебаний. Если это реальные измерения, то период считается так:
\[ T=\frac{t}{N}=\frac{t}{10}. \]
То есть нужны три значения времени: \(t_1,t_2,t_3\).
Если же нужно рассчитать теоретический период по формуле математического маятника
\[ T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}, \]
то при \(g\approx 9{,}81\ \text{м/с}^2\):
| Опыт | \(l\), м | \(m\), кг | \(N\) | Теоретический период \(T\), с |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0,25 | 0,1 | 10 | \( \approx 1{,}00 \) |
| 2 | 0,50 | 0,1 | 10 | \( \approx 1{,}42 \) |
| 3 | 0,75 | 0,1 | 10 | \( \approx 1{,}74 \) |
Средний период:
\[ T_{\text{ср}}= \frac{T_1+T_2+T_3}{3} = \frac{1{,}00+1{,}42+1{,}74}{3} \approx 1{,}39\ \text{с}. \]
Ответ:
\[ T_1\approx1{,}00\ \text{с},\quad T_2\approx1{,}42\ \text{с},\quad T_3\approx1{,}74\ \text{с}, \]
\[ T_{\text{ср}}\approx1{,}39\ \text{с}. \]
Важно: если в лабораторной ты измерял время 10 колебаний, то нельзя брать эти теоретические значения — нужно посчитать \(T=t/10\) по своим измерениям. Пришли три времени \(t_1,t_2,t_3\), и я посчитаю экспериментальные периоды.
время сам
Возьмём учебные (примерные) значения времени для 10 колебаний. Если это реальная лабораторная, эти числа нужно заменить на свои измерения.
| Опыт | \(l\), м | \(m\), кг | \(N\) | \(t\), с | \(T=t/N\), с |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0,25 | 0,1 | 10 | 10,0 | \(10{,}0/10=1{,}00\) |
| 2 | 0,50 | 0,1 | 10 | 14,2 | \(14{,}2/10=1{,}42\) |
| 3 | 0,75 | 0,1 | 10 | 17,4 | \(17{,}4/10=1{,}74\) |
Средний период:
\[ T_{\text{ср}}=\frac{1{,}00+1{,}42+1{,}74}{3} =\frac{4{,}16}{3}\approx 1{,}39\ \text{с}. \]
Ответ:
\[ T_1=1{,}00\ \text{с},\qquad T_2=1{,}42\ \text{с},\qquad T_3=1{,}74\ \text{с}, \]
\[ T_{\text{ср}}\approx1{,}39\ \text{с}. \]
Можно заметить: при увеличении длины нити в 2 раза период увеличивается примерно в \(\sqrt2\approx1{,}41\) раза, то есть \(1{,}00\to1{,}42\). Это соответствует формуле
\[ T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}. \]
А масса \(0{,}1\) кг во всех опытах одинаковая, поэтому её влияние здесь отдельно не проверяется.
