5вариант
Кратко (вариант 5)
\(a=5\ \text{м/с}^2\) при \(g=10\) м/с²
\((4{,}9\ \text{м/с}^2\) при \(g=9{,}8)\). Груз \(3\) кг движется вниз, груз \(1\) кг — вверх.\(F\approx 1{,}86\cdot10^2\) Н \(\approx 186\) Н при \(g=10\)
\((184\ \text{Н}\) при \(g=9{,}8)\). Сила направлена вверх под углом \(30^\circ\) к горизонту.
1. Два тела на блоке
Пусть \(m_1=1\) кг, \(m_2=3\) кг. Нить нерастяжима, поэтому ускорения тел одинаковы по модулю. Блок идеальный, значит сила натяжения нити \(T\) одинакова с обеих сторон.
Запишем второй закон Ньютона:
\[ m_2g-T=m_2a \]
\[ T-m_1g=m_1a \]
Сложим уравнения:
\[ (m_2-m_1)g=(m_1+m_2)a \]
\[ a=\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}g \]
\[ a=\frac{3-1}{1+3}\cdot10=\frac{2}{4}\cdot10=5\ \text{м/с}^2 \]
Более тяжёлый груз \(3\) кг опускается, лёгкий \(1\) кг поднимается.
Для проверки можно найти натяжение:
\[ T=m_1(g+a)=1\cdot(10+5)=15\ \text{Н} \]
2. Ящик тянут под углом \(30^\circ\)
Дано:
\[ m=60\ \text{кг},\quad a=1\ \text{м/с}^2,\quad \mu=0{,}2,\quad \alpha=30^\circ \]
Сила \(F\) направлена вверх под углом \(30^\circ\) к горизонту. Ускорения по вертикали нет, поэтому:
\[ N+F\sin\alpha=mg \]
\[ N=mg-F\sin\alpha \]
Сила трения:
\[ F_{\text{тр}}=\mu N \]
По горизонтали:
\[ F\cos\alpha-F_{\text{тр}}=ma \]
Подставляем силу трения:
\[ F\cos\alpha-\mu(mg-F\sin\alpha)=ma \]
\[ F(\cos\alpha+\mu\sin\alpha)=m(a+\mu g) \]
\[ F=\frac{m(a+\mu g)}{\cos\alpha+\mu\sin\alpha} \]
Подставляем числа при \(g=10\):
\[ F=\frac{60(1+0{,}2\cdot10)} {\cos30^\circ+0{,}2\sin30^\circ} \]
\[ F=\frac{60\cdot3}{0{,}866+0{,}1} \approx\frac{180}{0{,}966} \approx186\ \text{Н} \]
Проверка:
\[ N=600-186\cdot0{,}5\approx507\ \text{Н} \]
\[ F_{\text{тр}}=0{,}2\cdot507\approx101\ \text{Н} \]
\[ F\cos30^\circ\approx186\cdot0{,}866\approx161\ \text{Н} \]
\[ 161-101=60\ \text{Н}=ma \]
Всё сходится.
Важно: здесь нельзя брать \(F_{\text{тр}}=\mu mg\), потому что сила тяги имеет вертикальную составляющую и уменьшает нормальное давление ящика на поверхность.
Обсуждение
2 сообщенияДано и решеник простое
Берём \(g=10\ \text{м/с}^2\), чтобы считать проще.
Задача 1
Дано:
\[ m_1=1\ \text{кг},\quad m_2=3\ \text{кг},\quad g=10\ \text{м/с}^2 \]
Найти: \(a\).
Решение:
Для двух грузов на блоке:
\[ m_2g-T=m_2a \]
\[ T-m_1g=m_1a \]
Сложим уравнения:
\[ (m_2-m_1)g=(m_1+m_2)a \]
\[ a=\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}g \]
\[ a=\frac{3-1}{1+3}\cdot10=5\ \text{м/с}^2 \]
Ответ: \(a=5\ \text{м/с}^2\). Груз \(3\) кг движется вниз, груз \(1\) кг — вверх.
Задача 2
Дано:
\[ m=60\ \text{кг},\quad a=1\ \text{м/с}^2,\quad \mu=0{,}2,\quad \alpha=30^\circ,\quad g=10\ \text{м/с}^2 \]
Найти: \(F\).
Решение:
Сила направлена под углом \(30^\circ\) к горизонту, поэтому:
\[ N=mg-F\sin\alpha \]
\[ F_{\text{тр}}=\mu N \]
По горизонтали:
\[ F\cos\alpha-F_{\text{тр}}=ma \]
Подставляем:
\[ F\cos\alpha-\mu(mg-F\sin\alpha)=ma \]
\[ F(\cos\alpha+\mu\sin\alpha)=m(a+\mu g) \]
\[ F=\frac{m(a+\mu g)}{\cos\alpha+\mu\sin\alpha} \]
Подставляем числа:
\[ F=\frac{60(1+0{,}2\cdot10)} {\cos30^\circ+0{,}2\sin30^\circ} \]
\[ F\approx\frac{180}{0{,}866+0{,}1} \approx\frac{180}{0{,}966} \approx186\ \text{Н} \]
Ответ: \(F\approx1{,}9\cdot10^2\ \text{Н}\), то есть примерно \(186\ \text{Н}\).
Если брать \(g=9{,}8\ \text{м/с}^2\), получатся ответы \(a=4{,}9\ \text{м/с}^2\) и \(F\approx184\ \text{Н}\).
