Реши задание на изображении
Краткие ответы
- а) \(7\sqrt5\); б) \(-18\).
- а) \(\sqrt6+\sqrt3<3\sqrt2\); б) \(\bigl(\sqrt3-\sqrt8\bigr)\bigl(\sqrt8+\sqrt3\bigr)=-5\), то есть равно \(-5\).
- а) \(\sqrt7-1\); б) \(4\sqrt p+\sqrt5\).
- а) \(\dfrac{\sqrt6}{3}\); б) \(\dfrac{15+5\sqrt5}{2}\).
- \(\sqrt{12+6\sqrt3}=3+\sqrt3\).
Как это получается
1. Упростить выражение
а)
\[
\sqrt5+\sqrt{500}-\sqrt{80}
=\sqrt5+10\sqrt5-4\sqrt5=7\sqrt5.
\]
Здесь выносим квадраты из-под корня:
\(\sqrt{500}=\sqrt{100\cdot5}=10\sqrt5\),
\(\sqrt{80}=\sqrt{16\cdot5}=4\sqrt5\).
б)
\[
3\sqrt2(\sqrt2-\sqrt{32}).
\]
Так как \(\sqrt{32}=4\sqrt2\), то:
\[
3\sqrt2(\sqrt2-4\sqrt2)
=3\sqrt2(-3\sqrt2)
=-9\cdot2=-18.
\]
2. Сравнить
а) Сравниваем \(\sqrt6+\sqrt3\) и \(3\sqrt2\). Оба числа положительные, поэтому можно сравнить их квадраты: \[ (\sqrt6+\sqrt3)^2=6+2\sqrt{18}+3=9+6\sqrt2, \] \[ (3\sqrt2)^2=18. \] При этом \(9+6\sqrt2<18\), потому что \(6\sqrt2<9\). Значит, \[ \sqrt6+\sqrt3<3\sqrt2. \]
б) Используем формулу разности квадратов: \[ (\sqrt3-\sqrt8)(\sqrt8+\sqrt3) =(\sqrt3)^2-(\sqrt8)^2 =3-8=-5. \] Получили \(-5\), значит выражение равно числу \(-5\) в правой части.
3. Сократить дробь
а)
\[
\frac{7-\sqrt7}{\sqrt7}
=\frac{\sqrt7(\sqrt7-1)}{\sqrt7}
=\sqrt7-1.
\]
б)
\[
\frac{16p-5}{4\sqrt p-\sqrt5}
=\frac{(4\sqrt p-\sqrt5)(4\sqrt p+\sqrt5)}{4\sqrt p-\sqrt5}
=4\sqrt p+\sqrt5.
\]
Здесь \(p\ge0\), причём знаменатель не равен нулю.
4. Освободиться от иррациональности в знаменателе
а)
\[
\frac{4}{2\sqrt6}
=\frac{2}{\sqrt6}
=\frac{2\sqrt6}{6}
=\frac{\sqrt6}{3}.
\]
б) Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое \(3+\sqrt5\): \[ \frac{10}{3-\sqrt5} =\frac{10(3+\sqrt5)}{(3-\sqrt5)(3+\sqrt5)} =\frac{10(3+\sqrt5)}{9-5} =\frac{10(3+\sqrt5)}4 =\frac{15+5\sqrt5}{2}. \]
5. Вычислить
Нужно заметить, что под корнем стоит квадрат: \[ 12+6\sqrt3=9+6\sqrt3+3=(3+\sqrt3)^2. \] Поэтому: \[ \sqrt{12+6\sqrt3}=\sqrt{(3+\sqrt3)^2}=3+\sqrt3, \] так как \(3+\sqrt3>0\).
Проверка: \[ (3+\sqrt3)^2=9+6\sqrt3+3=12+6\sqrt3. \]
