Реши задание на изображении
Кратко
- C и E
- \((121;11)\)
- A и B
- \((x-5)(7x-13)\)
- \(\dfrac{x+1}{4(x+5)}\), при \(x\ne -5,\ x\ne -4{,}5\)
- Парабола ветвями вниз; вершина \((-4;1)\), нули \(x=-5\) и \(x=-3\), точка пересечения с осью \(Oy\): \((0;-15)\).
Разбор по заданиям
1. Какие точки лежат на графике \(y=x^2\)
Точка лежит на графике, если после подстановки её координат получается верное равенство.
Проверяем:
- \(A(5;16)\): \(5^2=25\ne16\) — нет;
- \(B(1{,}8;3{,}34)\): \(1{,}8^2=3{,}24\ne3{,}34\) — нет;
- \(C(8;64)\): \(8^2=64\) — да;
- \(D(-1{,}3;1{,}96)\): \((-1{,}3)^2=1{,}69\ne1{,}96\) — нет;
- \(E(-4;16)\): \((-4)^2=16\) — да.
Ответ: C и E.
2. Пересечение \(y=\sqrt{x}\) и \(y=11\)
В точке пересечения оба условия выполняются одновременно:
\[ \sqrt{x}=11. \]
Возводим в квадрат:
\[ x=121. \]
Проверка: \(\sqrt{121}=11\), значит, точка действительно лежит на обоих графиках.
Ответ: \((121;11)\).
3. Какие точки лежат на графике \(y=\sqrt{x}\)
Можно проверять так: если \(y=\sqrt{x}\), то \(x=y^2\), причём \(y\ge0\).
- \(A(0{,}04;0{,}2)\): \(0{,}2^2=0{,}04\) — да;
- \(B(1{,}69;1{,}3)\): \(1{,}3^2=1{,}69\) — да;
- \(C(1;2)\): \(2^2=4\ne1\) — нет;
- \(D(24;5)\): \(5^2=25\ne24\) — нет;
- \(E(8;3)\): \(3^2=9\ne8\) — нет.
Ответ: A и B.
4. Разложить на множители \(7x^2-48x+65\)
Нужно разбить средний коэффициент на два слагаемых. Ищем два числа, произведение которых равно
\[ 7\cdot65=455, \]
а сумма равна \(-48\). Это \(-35\) и \(-13\).
\[ 7x^2-48x+65=7x^2-35x-13x+65. \]
Группируем:
\[ =7x(x-5)-13(x-5)=(x-5)(7x-13). \]
Проверка:
\[ (x-5)(7x-13)=7x^2-13x-35x+65=7x^2-48x+65. \]
Ответ: \((x-5)(7x-13)\).
5. Сократить дробь
\[ \frac{2x^2+11x+9}{(8x+36)(x+5)}. \]
Сначала разложим числитель:
\[ 2x^2+11x+9=2x^2+2x+9x+9= \] \[ =2x(x+1)+9(x+1)=(x+1)(2x+9). \]
Знаменатель:
\[ 8x+36=4(2x+9), \]
поэтому
\[ (8x+36)(x+5)=4(2x+9)(x+5). \]
Получаем:
\[ \frac{(x+1)(2x+9)}{4(2x+9)(x+5)} = \frac{x+1}{4(x+5)}. \]
При сокращении на \(2x+9\) нужно помнить, что \(2x+9\ne0\), то есть \(x\ne-4{,}5\). Также \(x\ne-5\), иначе знаменатель исходной дроби равен нулю.
Ответ:
\[ \frac{x+1}{4(x+5)},\qquad x\ne-5,\ x\ne-4{,}5. \]
6. График функции \(y=-x^2-8x-15\)
Это квадратичная функция, график — парабола. Так как коэффициент при \(x^2\) равен \(-1<0\), ветви направлены вниз.
Вершина:
\[ x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2\cdot(-1)}=-4, \]
\[ y_0=-(-4)^2-8(-4)-15=-16+32-15=1. \]
Вершина: \((-4;1)\), ось симметрии \(x=-4\).
Найдём нули функции:
\[ -x^2-8x-15=0, \]
\[ x^2+8x+15=0, \]
\[ (x+3)(x+5)=0, \]
\[ x=-3,\quad x=-5. \]
Точка пересечения с осью \(Oy\):
\[ x=0,\qquad y=-15. \]
Можно взять точки для построения:
\[ \begin{array}{c|ccccccc} x&-8&-6&-5&-4&-3&-2&0\\ \hline y&-15&-3&0&1&0&-3&-15 \end{array} \]
Отмечаешь вершину \((-4;1)\), нули \((-5;0)\) и \((-3;0)\), точку \((0;-15)\), симметричную ей \((-8;-15)\), а затем соединяешь точки плавной линией — получается парабола ветвями вниз.
