Реши задание на изображении

На фото два варианта — привожу ответы для обоих.

Вариант 1

1. а) \(\sqrt{50}\); б) \(-\sqrt7\); в) \(\sqrt7\).
2. \(23\sqrt2\).
3. а) \(\sqrt5+a\); б) \(\dfrac{\sqrt{15}}5\); в) \(3y+\sqrt b\).
4. а) \(13\); б) \(140\); в) \(47\).
5. а) \(\dfrac{2\sqrt5}{3}\); б) \(2\sqrt3-1\).
6. \(6\sqrt{\dfrac23}>\dfrac12\sqrt{88}\).
7. \(\dfrac{\sqrt d}{\sqrt c+\sqrt d}\).

Вариант 2

1. а) \(\sqrt{45}\); б) \(-\sqrt{15}\); в) \(\sqrt3\).
2. \(12\sqrt3\).
3. а) \(\sqrt3-b\); б) \(\dfrac{\sqrt{10}}2\); в) \(2x+\sqrt a\).
4. а) \(10\); б) \(60\); в) \(23\).
5. а) \(\dfrac{5\sqrt6}{4}\); б) \(2\sqrt5+1\).
6. \(8\sqrt{\dfrac34}>\dfrac13\sqrt{405}\).
7. \(\sqrt{xy}\).

Как это получается

1. Внесение множителя под корень:
   \[ a\sqrt b=\sqrt{a^2b}\quad(a\ge0),\qquad -a\sqrt b=-\sqrt{a^2b}. \] Например: \[ 5\sqrt2=\sqrt{25\cdot2}=\sqrt{50},\qquad -7\sqrt{\frac17}=-\sqrt{49\cdot\frac17}=-\sqrt7. \]

2. Вынесение и приведение подобных корней.
   В варианте 1: \[ 2\sqrt{18}=6\sqrt2,\quad 5\sqrt{50}=25\sqrt2,\quad \frac14\sqrt{32}=\sqrt2. \] Поэтому \[ 6\sqrt2+25\sqrt2-\sqrt2-7\sqrt2=23\sqrt2. \] В варианте 2 аналогично: \[ 6\sqrt3+16\sqrt3-\sqrt3-9\sqrt3=12\sqrt3. \]

3. Сокращение дробей: нужно раскладывать числитель и знаменатель на множители.
   Например, в варианте 1: \[ 5-a^2=(\sqrt5-a)(\sqrt5+a), \] поэтому дробь сокращается на \(\sqrt5-a\).

В варианте 2: \[ 3-b^2=(\sqrt3-b)(\sqrt3+b), \] поэтому \[ \frac{3-b^2}{\sqrt3+b}=\sqrt3-b. \] В дробях вида \[ \frac{9y^2+6y\sqrt b+b}{3y+\sqrt b} \] числитель — это квадрат: \[ (3y+\sqrt b)^2. \] После сокращения остаётся \(3y+\sqrt b\).

4. Вычисления: здесь работают обычные формулы сокращённого умножения.
   Например, в варианте 1: \[ (2\sqrt3-1)(3\sqrt3+5)-7\sqrt3 =(13+7\sqrt3)-7\sqrt3=13. \] А в пункте б) при раскрытии квадратов взаимно уничтожаются слагаемые с \(\sqrt3\): \[ (37+20\sqrt3)+(103-20\sqrt3)=140. \]

5. Избавление от иррациональности: умножаем на такой множитель, чтобы в знаменателе получилось целое число.
   Например: \[ \frac{10}{3\sqrt5}\cdot\frac{\sqrt5}{\sqrt5} =\frac{10\sqrt5}{15}=\frac{2\sqrt5}{3}. \] Для \(\frac{11}{2\sqrt3+1}\) применяем сопряжённое \(2\sqrt3-1\): \[ \frac{11(2\sqrt3-1)}{(2\sqrt3)^2-1^2} =\frac{11(2\sqrt3-1)}{11}=2\sqrt3-1. \]

6. Сравнение корней: обе величины положительны, поэтому можно сравнить их квадраты.
   Вариант 1: \[ \left(6\sqrt{\frac23}\right)^2=24,\qquad \left(\frac12\sqrt{88}\right)^2=22. \] Значит, первое выражение больше.

Вариант 2: \[ \left(8\sqrt{\frac34}\right)^2=48,\qquad \left(\frac13\sqrt{405}\right)^2=45. \] Тоже первое больше.

7. Упрощение сложного выражения.
   В варианте 1 сначала упрощаем скобку: \[ \frac{\sqrt c}{\sqrt c+\sqrt d}+\frac{\sqrt d}{\sqrt c-\sqrt d} =\frac{c+d}{c-d}. \] Так как \[ \sqrt{cd}-d=\sqrt d(\sqrt c-\sqrt d), \] после сокращения получаем: \[ \frac{\sqrt d}{\sqrt c+\sqrt d}. \]

В варианте 2 удобно обозначить \(a=\sqrt x,\ b=\sqrt y\). Тогда скобка равна \[ \frac{a-b}{ab}, \] и всё выражение даёт \(ab=\sqrt{xy}\).

Проверка подстановкой: в варианте 1 при \(c=4,\ d=1\) получается \(\frac13\); в варианте 2 при \(x=4,\ y=1\) получается \(2=\sqrt{4\cdot1}\).