Реши

По фото уравнение читается так: \[ \frac{4}{x+3}-\frac{1}{x+9}=\frac{1}{x+5}-\frac{1}{x+8}. \]

Краткий ответ: \[ x=-7,\qquad x=-8-\sqrt5,\qquad x=-8+\sqrt5. \]

Как решать:

1. ОДЗ: \[ x\ne -3,\ -9,\ -5,\ -8. \]

2. Главный приём — сначала объединить дроби в каждой части: \[ \frac{4}{x+3}-\frac1{x+9} =\frac{4(x+9)-(x+3)}{(x+3)(x+9)} =\frac{3(x+11)}{(x+3)(x+9)}. \]

Аналогично: \[ \frac1{x+5}-\frac1{x+8} =\frac{(x+8)-(x+5)}{(x+5)(x+8)} =\frac{3}{(x+5)(x+8)}. \]

3. Получаем: \[ \frac{3(x+11)}{(x+3)(x+9)} =\frac{3}{(x+5)(x+8)}. \] Сокращаем на \(3\): \[ \frac{x+11}{(x+3)(x+9)} =\frac1{(x+5)(x+8)}. \]

4. Перемножаем крест-накрест: \[ (x+11)(x+5)(x+8)=(x+3)(x+9). \]

После раскрытия скобок: \[ x^3+23x^2+171x+413=0. \]

Этот многочлен раскладывается так: \[ (x+7)(x^2+16x+59)=0. \]

Отсюда: \[ x+7=0 \quad\Rightarrow\quad x=-7, \] или \[ x^2+16x+59=0. \]

Дискриминант: \[ D=16^2-4\cdot 59=256-236=20. \] Значит, \[ x=\frac{-16\pm\sqrt{20}}2=-8\pm\sqrt5. \]

Проверка для \(x=-7\): \[ \frac4{-4}-\frac12=-1-\frac12=-\frac32, \] \[ \frac1{-2}-\frac11=-\frac12-1=-\frac32. \] Сходится.

Ответ: \[ \boxed{x=-7;\quad x=-8-\sqrt5;\quad x=-8+\sqrt5.} \]