геометрия 7 класс 2026 год :контрольная работа два варианта

Ниже — примерный вариант контрольной (не официальный текст, а типовой набор заданий по программе 7 класса за первое полугодие: начальные сведения, признаки равенства треугольников, равнобедренный треугольник, параллельные прямые, сумма углов). Числа подобраны так, чтобы ответы были «красивыми».

Вариант 1

1. Один из смежных углов в 4 раза больше другого. Найдите эти углы.

2. Отрезки \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(O\), которая является серединой каждого из них. Докажите, что \(\triangle AOC = \triangle BOD\).

3. Периметр равнобедренного треугольника равен 20 см, основание — 6 см. Найдите боковую сторону.

4. Прямые \(a \parallel b\), \(c\) — секущая. Углы 1 и 2 — внутренние накрест лежащие, \(\angle 1 = 55^\circ\). Найдите \(\angle 2\) и угол, смежный с ним.

5. В \(\triangle ABC\) известно: \(\angle A = 50^\circ\), \(\angle B = 60^\circ\). Найдите \(\angle C\) и внешний угол при вершине \(C\).

6. В треугольнике \(ABC\) \(AB = BC\), \(BD\) — биссектриса угла \(B\). Докажите, что \(\triangle ABD = \triangle CBD\) и \(BD \perp AC\).

Вариант 2

1. Один из смежных углов на \(40^\circ\) меньше другого. Найдите эти углы.

2. Дано: \(AB = AD\), \(BC = DC\). Докажите, что \(\triangle ABC = \triangle ADC\).

3. Периметр равнобедренного треугольника равен 26 см, боковая сторона — 10 см. Найдите основание.

4. Прямые \(a \parallel b\), \(c\) — секущая. Углы 1 и 2 — внутренние односторонние, \(\angle 1 = 50^\circ\). Найдите \(\angle 2\) и накрест лежащий с ним угол.

5. В \(\triangle ABC\) известно: \(\angle A = 40^\circ\), \(\angle C = 80^\circ\). Найдите \(\angle B\) и внешний угол при вершине \(B\).

6. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с основанием \(AC\) проведена медиана \(BM\). Докажите, что \(BM\) — биссектриса и высота.

Ответы и ключевые шаги

Вариант 1

1. \(x + 4x = 180^\circ \Rightarrow x = 36^\circ\). Ответ: \(36^\circ\) и \(144^\circ\).
2. \(AO = OB\), \(CO = OD\) (точка \(O\) — середина), \(\angle AOC = \angle BOD\) как вертикальные ⇒ равенство по двум сторонам и углу между ними (I признак).
3. \((20 - 6) : 2 =\) 7 см.
4. Накрест лежащие при \(a \parallel b\) равны: \(\angle 2 = 55^\circ\); смежный с ним \(180^\circ - 55^\circ =\) \(125^\circ\).
5. \(\angle C = 180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ\); внешний \(= 180^\circ - 70^\circ =\) \(110^\circ\).
6. \(AB = BC\), \(\angle ABD = \angle DBC\) (биссектриса), \(BD\) — общая ⇒ I признак, \(\triangle ABD = \triangle CBD\). Отсюда \(AD = DC\) и \(\angle ADB = \angle BDC\), а они смежные и равны ⇒ по \(90^\circ\), то есть \(BD \perp AC\).

Вариант 2

1. \(x + (x + 40^\circ) = 180^\circ \Rightarrow x = 70^\circ\). Ответ: \(70^\circ\) и \(110^\circ\).
2. \(AB = AD\), \(BC = DC\), \(AC\) — общая ⇒ равенство по трём сторонам (III признак).
3. \(26 - 2\cdot 10 =\) 6 см.
4. Односторонние при \(a \parallel b\) в сумме \(180^\circ\): \(\angle 2 =\) \(130^\circ\); накрест лежащий с ним \(= 180^\circ - 130^\circ =\) \(50^\circ\).
5. \(\angle B = 180^\circ - 40^\circ - 80^\circ = 60^\circ\); внешний \(= 180^\circ - 60^\circ =\) \(120^\circ\).
6. \(AB = BC\), \(AM = MC\), \(BM\) — общая ⇒ III признак, \(\triangle ABM = \triangle CBM\). Значит \(\angle ABM = \angle MBC\) (биссектриса) и \(\angle AMB = \angle BMC =Продолжу с места, где оборвался разбор варианта 2, задание 6: \(\angle AMB = \angle BMC\), а эти углы смежные (точки \(A\), \(M\), \(C\) лежат на одной прямой), значит каждый по \(90^\circ\). Поэтому \(BM \perp AC\), и \(BM\) — одновременно медиана, биссектриса и высота.

Уточни, что именно нужно с «двумя вариантами»:

• оформить их как две отдельные контрольные без ответов (чтобы распечатать и решать),
• или добавить заданий (например, на построение, на признаки параллельности, задачи с периметром и внешним углом)?

Добавляю второй блок — задания 7–12. Они сложнее первых: здесь уже нужны признаки параллельности, свойства равнобедренного треугольника и доказательства.

Вариант 1

7. Прямые \(a\) и \(b\) пересечены секущей \(c\). Внутренние односторонние углы равны \(70^\circ\) и \(110^\circ\). Докажите, что \(a \parallel b\).

8. В \(\triangle ABC\) \(AB = BC\), внешний угол при вершине \(A\) равен \(130^\circ\). Найдите углы треугольника.

9. В \(\triangle ABC\) \(AB = BC\), \(BM\) — медиана, \(\angle ABC = 80^\circ\). Найдите \(\angle ABM\) и \(\angle AMB\).

10. Углы треугольника относятся как \(2:3:4\). Найдите больший угол.

11. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с основанием \(AC\) проведена высота \(BH\), \(AB = 13\) см, \(AC = 10\) см. Найдите \(AH\) и периметр треугольника.

12. Отрезки \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(O\), \(AO = OB\), \(AC \parallel BD\). Докажите, что \(\triangle AOC = \triangle BOD\).

Вариант 2

7. Прямые \(a\) и \(b\) пересечены секущей \(c\). Внутренние односторонние углы равны \(65^\circ\) и \(115^\circ\). Докажите, что \(a \parallel b\).

8. В \(\triangle ABC\) \(AB = BC\), внешний угол при вершине \(C\) равен \(140^\circ\). Найдите углы треугольника.

9. В \(\triangle ABC\) \(AB = BC\), \(BH\) — высота, \(\angle A = 35^\circ\). Найдите \(\angle ABH\) и \(\angle CBH\).

10. Углы треугольника относятся как \(3:4:5\). Найдите больший угол.

11. \(AB \parallel CD\), \(AD\) — секущая, \(\angle BAD = 65^\circ\). Найдите \(\angle ADC\).

12. Отрезки \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(O\), \(CO = OD\), \(AC \parallel BD\). Докажите, что \(\triangle AOC = \triangle BOD\).

Ответы и шаги

Вариант 1

7. \(70^\circ + 110^\circ = 180^\circ\). Если сумма внутренних односторонних углов равна \(180^\circ\), то прямые параллельны ⇒ \(a \parallel b\).
8. Внешний и внутренний углы при \(A\) смежные: \(\angle A = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ\). Так как \(AB = BC\), основание — \(AC\), значит \(\angle A = \angle C = 50^\circ\). Тогда \(\angle B = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ\). Ответ: \(50^\circ, 50^\circ, 80^\circ\).
9. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является и биссектрисой, и высотой. Поэтому \(\angle ABM = 80^\circ : 2 =\) \(40^\circ\), а \(\angle AMB =\) \(90^\circ\).
10. Всего \(2+3+4=9\) частей: \(180^\circ : 9 = 20^\circ\). Углы: \(40^\circ, 60^\circ, 80^\circ\). Больший — \(80^\circ\).
11. Высота к основанию равнобедренного треугольника делит его пополам: \(AH = 10 : 2 =\) 5 см. Периметр: \(13 + 13 + 10 =\) 36 см.
12. \(\angle AOC = \angle BOD\) как вертикальные. При \(AC \parallel BD\) и секущей \(CD\) накрест лежащие углы равны: \(\angle ACO = \angle BDO\). По стороне \(AO = OB\) и двум прилежащим углам треугольники равны (II признак).

Вариант 2

7. \(65^\circ + 115^\circ = 180^\circ\), значит сумма внутренних односторонних углов равна \(180^\circ\) ⇒ \(a \parallel b\).
8. \(\angle C = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ\). При \(AB = BC\) углы при основании \(AC\) равны: \(\angle A = \angle C = 40^\circ\). Тогда \(\angle B = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ\). Ответ: \(40^\circ, 40^\circ, 100^\circ\).
9. \(\angle A = \angle C = 35^\circ\), значит \(\angle B = 110^\circ\). Высота к основанию — биссектриса, поэтому \(\angle ABH = \angle CBH = 110^\circ : 2 =\) \(55^\circ\).
10. \(3+4+5 = 12\) частей: \(180^\circ : 12 = 15^\circ\). Больший угол: \(5 \cdot 15^\circ =\) \(75^\circ\).
11. При \(AB \parallel CD\) и секущей \(AD\) углы \(\angle BAD\) и \(\angle ADC\) — внутренние односторонние, их сумма \(180^\circ\). Значит \(\angle ADC = 180^\circ - 65^\circ =\) \(115^\circ\).
12. \(\angle AOC = \angle BOD\) как вертикальные. При \(AC \parallel BD\) и секущей \(CD\): \(\angle ACO = \angle BDO\). По стороне \(CO = OD\) и двум прилежащим углам \(\triangle AOC = \triangle BOD\) (II признак).

Могу добавить третий блок — задачи на построение (например, построить треугольник по трём сторонам, провести серединный перпендикуляр) или задачи повышенной сложности.

Третий блок — задания 13–18: задачи на построение, прямоугольный треугольник (катет против угла \(30^\circ\)) и более серьёзные доказательства.

Вариант 1

13. Постройте треугольник \(ABC\), в котором \(AB = 5\) см, \(AC = 4\) см, \(\angle A = 60^\circ\). Опишите порядок построения.

14. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) угол \(C\) прямой, \(\angle A = 30^\circ\), гипотенуза \(AB = 12\) см. Найдите \(BC\) и \(\angle B\).

15. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с основанием \(AC\) проведена биссектриса \(BM\). На ней отмечена точка \(K\). Докажите, что \(AK = CK\).

16. Внешний угол треугольника равен \(120^\circ\), а разность двух внутренних углов, не смежных с ним, равна \(30^\circ\). Найдите углы треугольника.

17. В равнобедренном треугольнике угол при основании в 2 раза больше угла при вершине. Найдите углы треугольника.

18. В треугольнике \(ABC\) \(\angle A = \angle C\). Биссектрисы углов \(A\) и \(C\) пересекаются в точке \(O\). Докажите, что \(AO = CO\) и \(BO\) — биссектриса угла \(B\).

Вариант 2

13. Постройте треугольник \(ABC\) по стороне \(AB = 6\) см и двум прилежащим углам: \(\angle A = 50^\circ\), \(\angle B = 60^\circ\). Опишите порядок построения.

14. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) угол \(C\) прямой, \(\angle B = 60^\circ\), гипотенуза \(AB = 16\) см. Найдите \(BC\) и \(\angle A\).

15. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с основанием \(AC\) проведена медиана \(BH\). На ней отмечена точка \(M\). Докажите, что \(\angle BAM = \angle BCM\).

16. Внешний угол треугольника равен \(100^\circ\), а разность двух внутренних углов, не смежных с ним, равна \(20^\circ\). Найдите углы треугольника.

17. В равнобедренном треугольнике угол при вершине в 4 раза меньше угла при основании. Найдите углы треугольника.

18. В треугольнике \(ABC\) \(\angle B = \angle C\). Биссектрисы углов \(B\) и \(C\) пересекаются в точке \(O\). Докажите, что \(BO = CO\) и \(AO\) — биссектриса угла \(A\).

Ответы и шаги

Вариант 1

13. Порядок: 1) провести луч \(AM\); 2) от луча \(AM\) отложить угол \(60^\circ\); 3) на сторонах угла отложить \(AB = 5\) см и \(AC = 4\) см; 4) соединить \(B\) и \(C\). Треугольник существует, так как угол задан между сторонами.

14. Катет против угла \(30^\circ\) равен половине гипотенузы: \(BC = 12 : 2 =\) 6 см. Тогда \(\angle B = 90^\circ - 30^\circ =\) \(60^\circ\).

15. Биссектриса к основанию равнобедренного треугольника является медианой и высотой, поэтому \(AM = MC\) и \(\angle AMK = \angle CMK = 90^\circ\). Треугольники \(AMK\) и \(CMK\) равны по двум сторонам и углу между ними (\(MK\) — общая). Значит, \(AK = CK\).

16. Внутренний угол, смежный с внешним: \(180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\). Сумма двух других \(= 120^\circ\). Пусть это \(x\) и \(y\): \(x + y = 120^\circ\), \(x - y = 30^\circ\), откуда \(x = 75^\circ\), \(y = 45^\circ\). Ответ: \(60^\circ, 75^\circ, 45^\circ\) (проверка: сумма \(180^\circ\)).

17. Пусть угол при вершине \(x\), тогда при основании \(2x\): \(x + 2x + 2x = 180^\circ\), \(x = 36^\circ\). Ответ: \(36^\circ, 72^\circ, 72^\circ\).

18. \(\angle A = \angle C\) ⇒ треугольник равнобедренный, \(AB = BC\). Тогда \(\angle OAC = \angle A/2 = \angle C/2 = \angle OCA\), значит в \(\triangle AOC\) углы при основании равны и \(AO = CO\). Далее \(\triangle ABO = \triangle CBO\) по трём сторонам (\(AB = BC\), \(AO = CO\), \(BO\) — общая), поэтому \(\angle ABO = \angle CBO\), то есть \(BO\) — биссектриса.

Вариант 2

13. Порядок: 1) отложить отрезок \(AB = 6\) см; 2) от луча \(AB\) при точке \(A\) отложить угол \(50^\circ\), при точке \(B\) — угол \(60^\circ\); 3) точка пересечения вторых сторон углов — вершина \(C\). Треугольник существует, так как \(50^\circ + 60^\circ < 180^\circ\).

14. \(\angle A = 90^\circ - 60^\circ =\) \(30^\circ\). Катет \(BC\) лежит против угла \(A = 30^\circ\), значит \(BC = 16 : 2 =\) 8 см.

15. \(\triangle ABH = \triangle CBH\) по трём сторонам (\(AB = BC\), \(AH = HC\), \(BH\) — общая), поэтому \(\angle ABM = \angle CBM\). Тогда \(\triangle ABM = \triangle CBM\) по двум сторонам и углу между ними, откуда \(\angle BAM = \angle BCM\).

16. Внутренний угол рядом с внешним: \(180^\circ - 100^\circ = 80^\circ\). Два других в сумме дают \(100^\circ\), их разность \(20^\circ\): \(x = 60^\circ\), \(y = 40^\circ\). Ответ: \(80^\circ, 60^\circ, 40^\circ\).

17. Пусть угол при вершине \(x\), при основании \(4x\): \(x + 4x + 4x = 180^\circ\), \(x = 20^\circ\). Ответ: \(20^\circ, 80^\circ, 80^\circ\).

18. \(\angle B = \angle C\) ⇒ \(AB = AC\). Тогда \(\angle OBC = \angle B/2 = \angle C/2 = \angle OCB\), значит \(BO = CO\). Далее \(\triangle ABO = \triangle ACO\) по трём сторонам (\(AB = AC\), \(BO = CO\), \(AO\) — общая), откуда \(\angle BAO = \angle CAO\) — \(AO\) биссектриса.

Дальше могу либо собрать весь комплект в один вариант контрольной без ответов (для тренировки на время), либо добавить задачи повышенной сложности — например, с доказательством от противного и с двойным применением признаков равенства. Что удобнее?

Добавляю тестовую часть: по 8 заданий с выбором ответа на каждый вариант. Правильный вариант ответа — один.

Вариант 1

19. Сумма смежных углов равна: а) \(90^\circ\); б) \(180^\circ\); в) \(360^\circ\); г) зависит от углов.

20. Два угла треугольника равны \(45^\circ\) и \(55^\circ\). Третий угол равен: а) \(70^\circ\); б) \(80^\circ\); в) \(90^\circ\); г) \(100^\circ\).

21. Вертикальные углы: а) в сумме дают \(180^\circ\); б) равны; в) в сумме дают \(360^\circ\); г) всегда острые.

22. Треугольники равны по первому признаку, если равны: а) три стороны; б) сторона и два прилежащих угла; в) две стороны и угол между ними; г) два угла.

23. В равнобедренном треугольнике \(AB = BC\). Тогда равны углы: а) \(\angle A\) и \(\angle B\); б) \(\angle A\) и \(\angle C\); в) \(\angle B\) и \(\angle C\); г) все три.

24. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые: а) перпендикулярны; б) параллельны; в) совпадают; г) пересекаются под \(45^\circ\).

25. В прямоугольном треугольнике один острый угол равен \(30^\circ\), гипотенуза \(10\) см. Катет против этого угла равен: а) \(5\) см; б) \(10\) см; в) \(20\) см; г) \(8\) см.

26. Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является: а) только медианой; б) биссектрисой и высотой; в) средней линией; г) стороной.

Вариант 2

19. Сумма углов треугольника равна: а) \(90^\circ\); б) \(180^\circ\); в) \(360^\circ\); г) \(270^\circ\).

20. Один из смежных углов равен \(125^\circ\). Второй равен: а) \(125^\circ\); б) \(55^\circ\); в) \(65^\circ\); г) \(75^\circ\).

21. Треугольники равны по третьему признаку, если равны: а) две стороны и угол между ними; б) сторона и два угла; в) три стороны; г) два угла и сторона.

22. Внешний угол треугольника равен: а) сумме двух внутренних, не смежных с ним; б) \(180^\circ\); в) внутреннему углу при той же вершине; г) \(90^\circ\).

23. В треугольнике \(\angle A = \angle C\). Тогда треугольник: а) прямоугольный; б) равносторонний; в) равнобедренный с основанием \(AC\); г) тупоугольный.

24. Если сумма внутренних односторонних углов при секущей равна \(180^\circ\), то прямые: а) параллельны; б) перпендикулярны; в) не пересекаются под углом; г) образуют прямой угол.

25. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла \(30^\circ\): а) равен другому катету; б) равен половине гипотенузы; в) равен гипотенузе; г) вдвое больше гипотенузы.

26. Биссектриса угла — это: а) отрезок, соединяющий вершину с серединой стороны; б) луч, делящий угол пополам; в) перпендикуляр к стороне; г) отрезок, соединяющий две стороны.

Ответы

Вариант 1: 19 — б; 20 — б (\(180^\circ - 45^\circ - 55^\circ = 80^\circ\)); 21 — б; 22 — в; 23 — б; 24 — б; 25 — а (\(10:2 = 5\) см); 26 — б.

Вариант 2: 19 — б; 20 — б (\(180^\circ - 125^\circ = 55^\circ\)); 21 — в; 22 — а; 23 — в; 24 — а; 25 — б; 26 — б.

Могу добавить тесты с несколькими верными ответами или задания на соответствие — сказать, какие нужны?