Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ:
\[
x^2-5x+6=0
\]
\[
x_1=2,\quad x_2=3
\]
Как понять решение:
Нужно разложить выражение на множители. Ищем два числа, которые:
- при умножении дают \(6\);
- при сложении дают \(5\) с противоположным знаком, то есть \(2+3=5\).
Подходят числа \(2\) и \(3\), поэтому:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Теперь уравнение выглядит так:
\[ (x-2)(x-3)=0 \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Значит:
\[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0 \]
Отсюда:
\[ x=2 \quad \text{или} \quad x=3 \]
Проверка:
При \(x=2\):
\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0 \]
При \(x=3\):
\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0 \]
Оба корня подходят.
Принцип: если квадратное уравнение можно разложить на множители, ищем числа, которые дают нужное произведение и сумму. Затем приравниваем каждый множитель к нулю.
Обсуждение
4 сообщенияПокажи только ответ
\(x_1=2,\quad x_2=3\)
Не очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
Коротко: \(x\) никуда не исчезал — он «сидит» внутри каждой скобки. Скобка \((x-2)\) — это целое выражение с неизвестным, и именно её мы приравниваем к нулю.
Разберём этот этап по шагам.
1. Откуда \(x\) в скобках.
Мы раскладывали \(x^2-5x+6\). Проверим умножением:
\[ (x-2)(x-3)=x(x-3)-2(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6 \]
Видно, что \(x^2\) получился как \(x\cdot x\): в каждой скобке по одному \(x\). Поэтому \(x\) есть в обеих скобках — это не случайность.
2. Правило нуля произведения.
Если \(A\cdot B=0\), то обязательно \(A=0\) или \(B=0\).
Почему: произведение даёт ноль только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. Например, \(0\cdot5=0\), \(7\cdot0=0\), а \(2\cdot3=6\ne0\).
3. Применяем к нашему уравнению.
\[ \underbrace{(x-2)}_{A}\cdot\underbrace{(x-3)}_{B}=0 \]
Значит:
\[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0 \]
То есть мы взяли первую скобку целиком и сказали: «она равна нулю», потом так же вторую. \(x\) остаётся, потому что мы ещё не нашли его значение — только составили два простых уравнения.
4. Решаем каждое.
\[ x-2=0 \Rightarrow x=2 \]
\[ x-3=0 \Rightarrow x=3 \]
Проверка:
При \(x=2\): первая скобка \(2-2=0\), вторая \(2-3=-1\), произведение \(0\cdot(-1)=0\).
При \(x=3\): первая скобка \(3-2=1\), вторая \(3-3=0\), произведение \(1\cdot0=0\).
Оба корня подходят. Если хочешь, покажу такой же разбор на другом примере.
