Реши задание на изображении

Краткий ответ

Для № 2: \[ \boxed{\vec{CA}=\vec b-\vec a,\qquad \vec{CN}=-\frac12\vec a,\qquad \vec{MN}=\frac12(\vec a-\vec b)} \]

В № 1 и № 3 на фото не начерчены конкретные векторы \(\vec a,\vec b,\vec c\), поэтому точный рисунок зависит от них. Ниже — правильный порядок построения.

№ 1. Как построить

Нужно помнить:

• \(k\vec a\): длина увеличивается в \(|k|\) раз;
• если \(k>0\), направление то же;
• если \(k<0\), направление противоположное.

а) \(\frac12\vec a+2\vec b\)

От произвольной точки \(O\):

1. Отложи \(\vec{OP}=\frac12\vec a\) — вдоль \(\vec a\), но в 2 раза короче.
2. Из точки \(P\) отложи \(\vec{PR}=2\vec b\) — вдоль \(\vec b\), но в 2 раза длиннее.
3. Тогда \[ \vec{OR}=\frac12\vec a+2\vec b. \]

б) \(-\vec a+3\vec b\)

1. Отложи \(\vec{OP}=-\vec a\) — противоположно \(\vec a\), длина такая же.
2. Из \(P\) отложи \(\vec{PR}=3\vec b\) — вдоль \(\vec b\), в 3 раза длиннее.
3. Тогда \[ \vec{OR}=-\vec a+3\vec b. \]

№ 2. Полное решение

Дано: \[ \vec a=\vec{BC},\qquad \vec b=\vec{CD}. \]

В параллелограмме: \[ \vec{AB}=\vec{DC}=-\vec b,\qquad \vec{BA}=\vec b,\qquad \vec{CB}=-\vec a. \]

1) \(\vec{CA}\)

\[ \vec{CA}=\vec{CB}+\vec{BA} =-\vec a+\vec b =\vec b-\vec a. \]

2) \(\vec{CN}\)

\(N\) — середина \(BC\), значит: \[ \vec{CN}=\frac12\vec{CB} =\frac12(-\vec a) =-\frac12\vec a. \]

3) \(\vec{MN}\)

\(M\) — середина \(AB\), \(N\) — середина \(BC\). Поэтому: \[ \vec{MN}=\vec{MB}+\vec{BN}. \] Так как \[ \vec{MB}=\frac12\vec{AB}=-\frac12\vec b, \qquad \vec{BN}=\frac12\vec{BC}=\frac12\vec a, \] получаем: \[ \vec{MN} =-\frac12\vec b+\frac12\vec a =\frac12(\vec a-\vec b). \]

Проверка: \(MN\) — средняя линия треугольника \(ABC\), значит \(\vec{MN}=\frac12\vec{AC}\), а \[ \vec{AC}=\vec a-\vec b. \] Всё совпадает.

№ 3. Как построить

а) \(\frac12\vec b-\vec c+\vec a\)

Это то же самое, что \[ \frac12\vec b+(-\vec c)+\vec a. \]

От точки \(O\):

1. \(\vec{OP}=\frac12\vec b\);
2. \(\vec{PR}=-\vec c\) — вектор, противоположный \(\vec c\);
3. \(\vec{RT}=\vec a\).

Тогда: \[ \vec{OT}=\frac12\vec b-\vec c+\vec a. \]

б) \(-3\vec a+0{,}5\vec b-\vec c\)

Здесь \(0{,}5\vec b=\frac12\vec b\).

1. \(\vec{OP}=-3\vec a\) — противоположно \(\vec a\), длина в 3 раза больше;
2. \(\vec{PR}=\frac12\vec b\);
3. \(\vec{RT}=-\vec c\).

Тогда: \[ \vec{OT}=-3\vec a+\frac12\vec b-\vec c. \]

Главное правило: конец предыдущего вектора — начало следующего, а сумма идёт от начала первого к концу последнего.