реши все задания
Краткий ответ
- 1196. Тождество верно: \(\left(\frac ab\right)^{-n}=\left(\frac ba\right)^n\).
- 1197. а) \(27\); б) \(\frac43\); в) \(10\,000\); г) \(\frac{81}{625}\); д) \(500\); е) \(-\frac{243}{1024}\).
- 1198. а) \(3^{-1}=\frac13\); б) \(3^3=27\); в) \(3^{-10}=\frac1{59049}\); г) \(3^0=1\).
- 1199. а) \(2^6=64\); б) \(2^{-3}=\frac18\); в) \(2^3=8\); г) \(2^2=4\).
- 1200. а) \(5^{m+2}\); б) \(5^{-m}\); в) \(5^{6-4m}\).
- 1201. а) \(1\); б) \(27\); в) \(1000\); г) \(\frac1{25}\); д) \(2^{43}\); е) \(256\); ж) \(81\); з) \(5^{16}\).
Как решаются такие задания
Главные формулы:
\[ a^{-k}=\frac1{a^k},\qquad (a^m)^n=a^{mn}, \] \[ a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad a^m:a^n=a^{m-n}. \]
Если основания разные, приводим их к одному основанию.
№ 1196
Нужно доказать:
\[ \left(\frac ab\right)^{-n}=\left(\frac ba\right)^n. \]
Если \(n=0\), обе части равны \(1\).
Если \(n>0\), то по определению отрицательной степени:
\[ \left(\frac ab\right)^{-n} =\frac1{\left(\frac ab\right)^n} =\frac1{a^n/b^n} =\frac{b^n}{a^n} =\left(\frac ba\right)^n. \]
Если \(n=-k\), где \(k>0\), то:
\[ \left(\frac ab\right)^n =\left(\frac ab\right)^{-k} =\left(\frac ba\right)^k, \]
и
\[ \left(\frac ba\right)^{-n} =\left(\frac ba\right)^k. \]
Значит, равенство верно при любом целом \(n\).
№ 1197
а)
\[ \left(\frac13\right)^{-3}=3^3=27. \]
б)
\[ \left(\frac34\right)^{-1}=\frac43. \]
в)
\[ 0{,}01^{-2}=(10^{-2})^{-2}=10^4=10\,000. \]
г) Сначала переведём смешанное число:
\[ 1\frac23=\frac53. \]
Тогда:
\[ \left(\frac53\right)^{-4} =\left(\frac35\right)^4 =\frac{81}{625}. \]
д)
\[ 0{,}002=\frac2{1000}=\frac1{500}, \]
поэтому:
\[ 0{,}002^{-1}=500. \]
е)
\[ -1\frac13=-\frac43. \]
\[ \left(-\frac43\right)^{-5} =\left(-\frac34\right)^5 =-\frac{243}{1024}. \]
№ 1198
Приводим всё к основанию \(3\).
а)
\[ 27\cdot 3^{-4}=3^3\cdot 3^{-4}=3^{-1}=\frac13. \]
б)
\[ (3^{-1})^5\cdot 81^2 =3^{-5}\cdot (3^4)^2 =3^{-5}\cdot 3^8 =3^3=27. \]
в)
\[ 9^{-2}:3^6 =(3^2)^{-2}:3^6 =3^{-4}:3^6 =3^{-10} =\frac1{59049}. \]
г)
\[ 81^3:(9^{-2})^{-3} =(3^4)^3:9^6 =3^{12}:3^{12} =3^0=1. \]
№ 1199
Приводим всё к основанию \(2\).
а)
\[ \frac1{16}\cdot 2^{10} =2^{-4}\cdot 2^{10} =2^6=64. \]
б)
\[ 32\cdot (2^{-4})^2 =2^5\cdot 2^{-8} =2^{-3} =\frac18. \]
в)
\[ 8^{-1}\cdot 4^3 =(2^3)^{-1}\cdot (2^2)^3 =2^{-3}\cdot 2^6 =2^3=8. \]
г)
\[ 4^5\cdot 16^{-2} =(2^2)^5\cdot (2^4)^{-2} =2^{10}\cdot 2^{-8} =2^2=4. \]
№ 1200
Все выражения приводим к степени с основанием \(5\).
а)
\[ 5^m\cdot 5^{m+1}\cdot 5^{1-m} =5^{m+(m+1)+(1-m)} =5^{m+2}. \]
б)
\[ (5^m)^2\cdot (5^{-3})^m =5^{2m}\cdot 5^{-3m} =5^{-m}. \]
в) Так как \(625=5^4\):
\[ 625:5^{4m-2} =5^4:5^{4m-2} =5^{4-(4m-2)} =5^{6-4m}. \]
№ 1201
а)
\[ 8^{-2}\cdot 4^3 =(2^3)^{-2}\cdot (2^2)^3 =2^{-6}\cdot 2^6 =1. \]
б)
\[ 9^{-6}\cdot 27^5 =(3^2)^{-6}\cdot (3^3)^5 =3^{-12}\cdot 3^{15} =3^3=27. \]
в)
\[ 10^0:10^{-3} =1:10^{-3} =10^3=1000. \]
г)
\[ 125^{-4}:25^{-5} =(5^3)^{-4}:(5^2)^{-5} =5^{-12}:5^{-10} =5^{-2} =\frac1{25}. \]
д)
\[ 4^{-5}\cdot 4^{-6}=4^{-11}=2^{-22}, \]
поэтому:
\[ \frac{2^{21}}{4^{-5}\cdot 4^{-6}} =\frac{2^{21}}{2^{-22}} =2^{21-(-22)} =2^{43}. \]
е)
\[ 4^2\cdot 8^{-6} =2^4\cdot 2^{-18} =2^{-14}. \]
\[ \frac{4^2\cdot 8^{-6}}{2^{-22}} =\frac{2^{-14}}{2^{-22}} =2^{-14-(-22)} =2^8=256. \]
ж)
\[ 3^{-10}\cdot 9^8 =3^{-10}\cdot 3^{16} =3^6. \]
\[ (-3)^2=9=3^2, \]
поэтому:
\[ \frac{3^{-10}\cdot 9^8}{(-3)^2} =\frac{3^6}{3^2} =3^4=81. \]
з)
\[ 25^{10}=(5^2)^{10}=5^{20}, \]
\[ 125^3=(5^3)^3=5^9. \]
Тогда:
\[ \frac{5^5\cdot 25^{10}}{125^3} =\frac{5^5\cdot 5^{20}}{5^9} =5^{5+20-9} =5^{16}. \]
Что важно запомнить: отрицательная степень «переворачивает» дробь; при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении — вычитаются; степень степени даёт произведение показателей.
