Распиши решение чтобы я поняла как делать
На фото 10 заданий. Ниже — ответ и ключевые шаги к каждому, чтобы был понятен сам принцип.
1.
\[
\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+4}{x+8}\right)^{-3x}=e^{12}.
\]
Сначала перевернём дробь из-за отрицательной степени:
\[
\left(\frac{x+4}{x+8}\right)^{-3x}
=\left(\frac{x+8}{x+4}\right)^{3x}
=\left(1+\frac{4}{x+4}\right)^{3x}.
\]
Используем второй замечательный предел \((1+t)^{1/t}\to e\). Пусть \(t=\frac4{x+4}\). Тогда показатель \(3x\to\) даёт:
\[
3x\sim \frac{12}{t},
\]
поэтому предел равен \(e^{12}\).
2.
\[
\lim_{x\to\infty}\frac{(3x+1)^4(x+1)}{9x^5+2x+1}=9.
\]
При \(x\to\infty\) в числителе главный член:
\[
(3x)^4\cdot x=81x^5,
\]
в знаменателе — \(9x^5\). Поэтому:
\[
\frac{81x^5}{9x^5}=9.
\]
3.
\[
\lim_{x\to2}\frac{x^2-5x+6}{x^3-8}=-\frac1{12}.
\]
При \(x=2\) получается \(0/0\), значит раскладываем на множители:
\[
x^2-5x+6=(x-2)(x-3),
\]
\[
x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4).
\]
Сокращаем \(x-2\):
\[
\lim_{x\to2}\frac{x-3}{x^2+2x+4}
=\frac{2-3}{4+4+4}
=-\frac1{12}.
\]
4.
\[
y=x^4+2x+1,\qquad M(1;4).
\]
Производная:
\[
y'=4x^3+2.
\]
В точке \(x=1\):
\[
y'(1)=6.
\]
Уравнение касательной:
\[
y-4=6(x-1),
\]
\[
y=6x-2.
\]
Пересечение с осью \(X\): там \(y=0\):
\[
6x-2=0,\qquad x=\frac13.
\]
Ответ: \(\left(\frac13;0\right)\).
5.
\[
y=xe^{-2x^2},\qquad [-2;0].
\]
Находим производную:
\[
y'=e^{-2x^2}+x(-4x)e^{-2x^2}
=e^{-2x^2}(1-4x^2).
\]
Критические точки:
\[
1-4x^2=0,\qquad x=\pm\frac12.
\]
На отрезке \([-2;0]\) лежит только \(x=-\frac12\).
Проверяем значения: \[ y(-2)=-2e^{-8}, \] \[ y\left(-\frac12\right)=-\frac12e^{-1/2}, \] \[ y(0)=0. \] Все значения при \(x<0\) отрицательны, а \(y(0)=0\). Значит наибольшее значение: \[ \boxed{0}\quad \text{при } x=0. \]
6.
\[
y=x^5-5x^4+\frac{20}{3}x^3+3x+1.
\]
Первая производная:
\[
y'=5x^4-20x^3+20x^2+3.
\]
Вторая:
\[
y''=20x^3-60x^2+40x
=20x(x-1)(x-2).
\]
Кандидаты в точки перегиба:
\[
x=0,\quad x=1,\quad x=2.
\]
Так как все корни простые, \(y''\) меняет знак в каждом из них, значит это действительно точки перегиба.
Значения функции: \[ y(0)=1, \] \[ y(1)=1-5+\frac{20}{3}+3+1=\frac{20}{3}, \] \[ y(2)=32-80+\frac{160}{3}+6+1=\frac{37}{3}. \] Ответ: \[ \boxed{(0;1),\quad \left(1;\frac{20}{3}\right),\quad \left(2;\frac{37}{3}\right)}. \]
7.
\[
y=\sqrt{3x+1}\cdot \sin 2x.
\]
Применяем правило произведения и цепное правило:
\[
(\sqrt{3x+1})'=\frac{3}{2\sqrt{3x+1}},
\]
\[
(\sin 2x)'=2\cos 2x.
\]
Тогда:
\[
y'=\frac{3\sin 2x}{2\sqrt{3x+1}}
+2\sqrt{3x+1}\cos 2x.
\]
Можно записать одной дробью:
\[
y'=\frac{3\sin2x+4(3x+1)\cos2x}{2\sqrt{3x+1}}.
\]
8.
\[
y=\ln(1+x^2).
\]
Производная:
\[
y'=\frac{1}{1+x^2}\cdot 2x=\frac{2x}{1+x^2}.
\]
Дифференциал:
\[
\boxed{dy=\frac{2x}{1+x^2}\,dx}.
\]
9.
\[
y\sqrt{x}+x\sqrt{y}=1.
\]
Считаем \(y\) функцией от \(x\) и дифференцируем обе части:
\[
y'\sqrt{x}+\frac{y}{2\sqrt{x}}
+\sqrt{y}+\frac{x}{2\sqrt{y}}y'=0.
\]
Группируем слагаемые с \(y'\):
\[
y'\left(\sqrt{x}+\frac{x}{2\sqrt{y}}\right)
=-\left(\sqrt{y}+\frac{y}{2\sqrt{x}}\right).
\]
Отсюда:
\[
y'=-\frac{\sqrt{y}+\frac{y}{2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}+\frac{x}{2\sqrt{y}}}.
\]
После упрощения:
\[
\boxed{y'=-\frac{y(2\sqrt{x}+\sqrt{y})}{x(2\sqrt{y}+\sqrt{x})}}.
\]
10.
\[
z=e^{x^2y^4}.
\]
Считаем \(y\) постоянной. Сначала первая производная по \(x\):
\[
z_x=e^{x^2y^4}\cdot 2xy^4
=2xy^4e^{x^2y^4}.
\]
Теперь ещё раз дифференцируем по \(x\):
\[
z_{xx}=2y^4e^{x^2y^4}
+2xy^4e^{x^2y^4}\cdot 2xy^4.
\]
Выносим общий множитель:
\[
\boxed{\frac{\partial^2z}{\partial x^2}
=2y^4e^{x^2y^4}\left(1+2x^2y^4\right)}.
\]
Главные принципы: в пределах при \(x\to\infty\) оставляем старшие степени, при \(0/0\) раскладываем на множители; для касательной нужна \(y'(x_0)\); для наибольшего значения проверяем критические точки и концы отрезка; для перегиба — корни \(y''\) с изменением знака; в неявной производной дифференцируем обе части и выражаем \(y'\).
