Реши задание на изображении
Ответ:
а) \(5\); б) \(1\); в) \(\frac{1}{36}\); г) \(144\); д) \(\frac{1}{2}\); е) \(\frac{1}{81}\).
Как решать
Используем свойства степеней:
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad a^m:a^n=a^{m-n}, \] \[ (a^m)^n=a^{mn},\qquad a^{-n}=\frac1{a^n},\qquad a^0=1. \]
Главный приём: свести все степени к одному основанию.
а)
\[
125^{-1}\cdot25^2=(5^3)^{-1}\cdot(5^2)^2
=5^{-3}\cdot5^4=5^1=5.
\]
б)
\[
16^{-3}\cdot4^6=(2^4)^{-3}\cdot(2^2)^6
=2^{-12}\cdot2^{12}=2^0=1.
\]
в)
\[
(6^2)^6:6^{14}=6^{12}:6^{14}
=6^{12-14}=6^{-2}=\frac1{36}.
\]
г)
\[
12^0:(12^{-1})^2
=1:12^{-2}
=12^2=144.
\]
д)
\[
\frac{(2^3)^5\cdot(2^{-6})^2}{4^2}
=
\frac{2^{15}\cdot2^{-12}}{(2^2)^2}
=
\frac{2^3}{2^4}
=2^{-1}
=\frac12.
\]
е)
\[
\frac{(3^{-2})^3\cdot9^4}{(3^3)^2}
=
\frac{3^{-6}\cdot(3^2)^4}{3^6}
=
\frac{3^{-6}\cdot3^8}{3^6}
=
3^{-6+8-6}
=3^{-4}
=\frac1{81}.
\]
Проверка: например, в пункте а \(25^2=625\), а \(125^{-1}=\frac1{125}\), поэтому \(\frac{625}{125}=5\). В пункте б \(4^6=4096\) и \(16^3=4096\), значит, \(16^{-3}\cdot4^6=1\).
