Реши задание на изображении

Кратко

1. \[ y=x^4-2x^2+2=(x^2-1)^2+1 \] График симметричен относительно оси \(Oy\), нулей нет.
   Минимумы: \((-1;1)\) и \((1;1)\).
   Локальный максимум: \((0;2)\).
   Точки перегиба: \(\left(\pm \frac1{\sqrt3};\frac{13}{9}\right)\).
   График имеет W-образную форму.

2. \[ y=\frac{x+1}{x+3}=1-\frac{2}{x+3} \] Это гипербола с центром \((-3;1)\).
   Вертикальная асимптота: \(x=-3\).
   Горизонтальная асимптота: \(y=1\).
   Нуль функции: \(x=-1\), пересечение с \(Oy\): \(\left(0;\frac13\right)\).

---

1) \(y=x^4-2x^2+2\)

Область определения и свойства

\[ D(y)=\mathbb R \] Функция чётная: \[ f(-x)=(-x)^4-2(-x)^2+2=x^4-2x^2+2=f(x) \] Значит, график симметричен относительно оси \(Oy\).

Перепишем: \[ y=(x^2-1)^2+1 \] Отсюда сразу видно, что \(y\ge 1\), причём \(y=1\) при \[ x^2=1 \quad\Rightarrow\quad x=\pm1. \] То есть наименьшее значение функции равно \(1\).

Нулей нет, так как \(y\ge1>0\).
При \(x=0\): \[ y=2. \]

Производная и экстремумы

\[ y'=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1) \] Критические точки: \[ x=-1,\quad x=0,\quad x=1. \]

Знаки производной:

\[ \begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty;-1) & -1 & (-1;0) & 0 & (0;1) & 1 & (1;+\infty)\\ \hline y' & - & 0 & + & 0 & - & 0 & +\\ y & \searrow & \min & \nearrow & \max & \searrow & \min & \nearrow \end{array} \]

Поэтому:

• при \(x=\pm1\) — минимумы: \[ y(\pm1)=1; \]
• при \(x=0\) — локальный максимум: \[ y(0)=2. \]

Функция возрастает на промежутках \[ (-1;0),\qquad (1;+\infty), \] убывает на \[ (-\infty;-1),\qquad (0;1). \]

Вторая производная и точки перегиба

\[ y''=12x^2-4=4(3x^2-1) \] \[ y''=0 \quad\Rightarrow\quad x=\pm\frac1{\sqrt3}. \]

В этих точках: \[ y\left(\pm\frac1{\sqrt3}\right) =\frac19-\frac23+2 =\frac{13}{9}. \] То есть точки перегиба: \[ \left(-\frac1{\sqrt3};\frac{13}{9}\right), \qquad \left(\frac1{\sqrt3};\frac{13}{9}\right). \]

Асимптот у многочлена нет.

Как построить график

Отметь точки: \[ (-2;10),\quad (-1;1),\quad (0;2),\quad (1;1),\quad (2;10). \] Также можно отметить: \[ \left(\pm\sqrt2;2\right) \] и точки перегиба \(\left(\pm\frac1{\sqrt3};\frac{13}{9}\right)\).

График: «W-образная» кривая, симметричная относительно оси \(Oy\). В центре небольшой горб с вершиной \((0;2)\), по бокам два минимума \((-1;1)\) и \((1;1)\), затем ветви уходят вверх.

---

2) \(y=\dfrac{x+1}{x+3}\)

Область определения

Знаменатель не равен нулю: \[ x+3\ne0 \quad\Rightarrow\quad x\ne-3. \] Значит, \[ D(y)=(-\infty;-3)\cup(-3;+\infty). \]

Пересечения с осями

С осью \(Ox\): \[ \frac{x+1}{x+3}=0 \quad\Rightarrow\quad x+1=0 \quad\Rightarrow\quad x=-1. \] Точка \((-1;0)\).

С осью \(Oy\): \[ y(0)=\frac{0+1}{0+3}=\frac13. \] Точка \(\left(0;\frac13\right)\).

Асимптоты

Вертикальная асимптота: \[ x=-3, \] так как при \(x\to-3\) знаменатель стремится к нулю, а числитель не равен нулю.

Горизонтальная асимптота: \[ y=1, \] поскольку \[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{x+1}{x+3}=1. \]

Это хорошо видно из записи: \[ \frac{x+1}{x+3} =\frac{(x+3)-2}{x+3} =1-\frac{2}{x+3}. \]

Производная

\[ y'=\frac{(x+3)-(x+1)}{(x+3)^2} =\frac{2}{(x+3)^2}>0. \] Значит, функция возрастает на каждом из промежутков: \[ (-\infty;-3),\qquad (-3;+\infty). \] Экстремумов нет.

Построение графика

График — гипербола с центром \((-3;1)\).
Асимптоты: \[ x=-3,\qquad y=1. \]

Полезные точки: \[ (-5;2),\quad (-4;3), \] \[ (-2;-1),\quad (-1;0),\quad \left(0;\frac13\right). \]

Левая ветвь расположена левее \(x=-3\) и выше \(y=1\).
Правая ветвь расположена правее \(x=-3\) и ниже \(y=1\).

---

Проверка

Для первой функции: \[ y=(x^2-1)^2+1\ge1, \] поэтому минимум \(1\) действительно достигается при \(x=\pm1\).

Для второй функции: \[ \frac{x+1}{x+3}=1-\frac{2}{x+3}, \] поэтому при \(x\to\pm\infty\) график приближается к \(y=1\), а при \(x\to-3\) — к вертикальной прямой \(x=-3\).