Рассмотри изображение вместе с последним сообщением и историей диалога. Сначала определи, это продолжение текущей учебной цели или самостоятельное новое задание.

Это новый вариант контрольной (5 заданий) — разбираю его целиком в режиме «Понять»: сначала ответ, потом ключевые шаги.

---

1. Разложить на множители

а) \(x^2-12x+36=(x-6)^2\) — это просто квадрат разности: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), здесь \(2\cdot 6=12\).

б) \(4y^2+19y-5\)

Находим корни \(4y^2+19y-5=0\): \[ D=19^2-4\cdot4\cdot(-5)=361+80=441=21^2,\qquad y=\frac{-19\pm21}{8} \] \[ y_1=\frac{2}{8}=\frac14,\qquad y_2=\frac{-40}{8}=-5 \] \[ 4y^2+19y-5=4\left(y-\tfrac14\right)(y+5)=\boxed{(4y-1)(y+5)} \] Проверка: \(4y^2+20y-y-5=4y^2+19y-5\) ✔

---

2. Сократить дробь

\[ \frac{5a^2+19a-4}{1-25a^2} \]

Числитель: \(D=441\), \(a_1=\frac15,\ a_2=-4\), значит \[ 5a^2+19a-4=5\left(a-\tfrac15\right)(a+4)=(5a-1)(a+4). \] Знаменатель — разность квадратов: \[ 1-25a^2=(1-5a)(1+5a)=-(5a-1)(1+5a). \] Множитель \((5a-1)\) сокращается, остаётся минус: \[ \boxed{\frac{5a^2+19a-4}{1-25a^2}=-\frac{a+4}{5a+1}},\qquad a\neq\pm\frac15 \] Проверка при \(a=0\): слева \(\frac{-4}{1}=-4\), справа \(-\frac{4}{1}=-4\) ✔

---

3. Решить неравенство

\[ 8(x+1)+3x\le 4x+15 \] \[ 8x+8+3x\le 4x+15 \] \[ 11x-4x\le 15-8 \] \[ 7x\le 7 \;\Rightarrow\; x\le 1 \] \[ \boxed{x\in(-\infty;\,1]} \]

---

4. Найти значение выражения

\[ (x-3)^2-(x+5)(x-5) \] \[ =(x^2-6x+9)-(x^2-25)=x^2-6x+9-x^2+25=-6x+34 \] При \(x=1\frac86=\frac73\): \[ -6\cdot\frac73+34=-14+34=\boxed{20} \] (Если в тетради записано \(1\frac56\), то получится \(-11+34=23\) — уточни это значение, почерк в дроби читается неоднозначно.)

---

5. Решить уравнение

\[ (3x-1)(2x-2)=(x-5)^2+49 \] Раскрываем обе части: \[ 6x^2-6x-2x+2=x^2-10x+25+49 \] \[ 6x^2-8x+2=x^2-10x+74 \] \[ 5x^2+2x-72=0,\qquad D=4+1440=1444=38^2 \] \[ x=\frac{-2\pm38}{10} \] \[ \boxed{x_1=3{,}6;\quad x_2=-4} \] Проверка \(x=-4\): слева \((-13)(-10)=130\), справа \(81+49=130\) ✔

---

Итог: 1а) \((x-6)^2\); 1б) \((4y-1)(y+5)\); 2) \(-\dfrac{a+4}{5a+1}\); 3) \(x\le1\); 4) \(-6x+34\), при \(x=\frac73\) равно 20; 5) \(3{,}6\) и \(-4\).

Главный приём во всех номерах один: квадратный трёхчлен раскладывается через корни \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\), а «разность квадратов» \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) сразу убивает лишние \(x^2\). Скажи, какой номер расписать подробнее.

Номер 1 — через дискриминант

Правило одно и то же для обоих пунктов:

\[ ax^2+bx+c=0,\quad D=b^2-4ac,\quad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} \] \[ ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2) \]

---

а) \(x^2-12x+36\)

Здесь \(a=1,\ b=-12,\ c=36\).

\[ D=(-12)^2-4\cdot1\cdot36=144-144=0 \]

Дискриминант равен нулю → корень один (два совпавших):

\[ x=\frac{-b}{2a}=\frac{12}{2}=6 \]

Подставляем в формулу разложения:

\[ x^2-12x+36=1\cdot(x-6)(x-6)=\boxed{(x-6)^2} \]

---

б) \(4y^2+19y-5\)

Здесь \(a=4,\ b=19,\ c=-5\).

\[ D=19^2-4\cdot4\cdot(-5)=361+80=441,\qquad \sqrt D=21 \]

\[ y_1=\frac{-19+21}{2\cdot4}=\frac{2}{8}=\frac14 \] \[ y_2=\frac{-19-21}{8}=\frac{-40}{8}=-5 \]

Разложение:

\[ 4y^2+19y-5=4\left(y-\frac14\right)(y+5) \]

Дробь из первой скобки убираем, внося множитель 4 внутрь:

\[ 4\left(y-\frac14\right)=4y-1 \]

\[ \boxed{4y^2+19y-5=(4y-1)(y+5)} \]

Проверка: \((4y-1)(y+5)=4y^2+20y-y-5=4y^2+19y-5\) ✔

---

Важный момент

Старший коэффициент \(a\) писать перед скобками обязательно. Если в пункте б) сразу записать \((y-\frac14)(y+5)\), получится неверно: раскрытие даст \(y^2+\ldots\), а не \(4y^2+\ldots\). Поэтому множитель 4 «заводят» в дробную скобку — так и появляется \((4y-1)\).

Если \(D=0\), как в пункте а), корень считается по формуле \(\dfrac{-b}{2a}\); общая формула с \(\pm\sqrt D\) тоже даёт то же число дважды.

Номер 2 подробно

\[ \frac{5a^2+19a-4}{1-25a^2} \]

Сокращать можно только множители, а не слагаемые. Поэтому сначала раскладываем на множители и числитель, и знаменатель.

---

Шаг 1. Раскладываем числитель \(5a^2+19a-4\)

Решаем уравнение \(5a^2+19a-4=0\). Здесь \(a=5,\ b=19,\ c=-4\) (коэффициенты только числителя, буква \(a\) в роли переменной не мешает).

\[ D=b^2-4ac=19^2-4\cdot5\cdot(-4)=361+80=441 \] \[ \sqrt{D}=21 \] \[ a_1=\frac{-b+\sqrt D}{2a}=\frac{-19+21}{10}=\frac{2}{10}=\frac15 \] \[ a_2=\frac{-b-\sqrt D}{2a}=\frac{-19-21}{10}=\frac{-40}{10}=-4 \]

Теперь формула \(5a^2+19a-4=5(a-a_1)(a-a_2)\):

\[ 5\left(a-\frac15\right)(a+4) \]

Множитель 5 вносим в первую скобку, чтобы убрать дробь:

\[ 5\left(a-\frac15\right)=5a-1 \]

\[ \boxed{5a^2+19a-4=(5a-1)(a+4)} \]

Проверка: \((5a-1)(a+4)=5a^2+20a-a-4=5a^2+19a-4\) ✔

---

Шаг 2. Раскладываем знаменатель \(1-25a^2\)

Это разность квадратов: \(1^2-(5a)^2\).

\[ 1-25a^2=(1-5a)(1+5a) \]

Но в числителе стоит скобка \((5a-1)\), а в знаменателе \((1-5a)\). Это противоположные выражения, поэтому меняем знак:

\[ 1-5a=-(5a-1) \]

\[ 1-25a^2=-(5a-1)(1+5a) \]

---

Шаг 3. Записываем дробь и сокращаем

\[ \frac{5a^2+19a-4}{1-25a^2} =\frac{(5a-1)(a+4)}{-(5a-1)(5a+1)} \]

Общая скобка \((5a-1)\) сокращается (она не равна нулю при допустимых \(a\)), остаётся:

\[ \boxed{\frac{5a^2+19a-4}{1-25a^2}=-\frac{a+4}{5a+1}} \]

Знак минус вынесли перед дробью и записали \(1+5a=5a+1\).

---

Шаг 4. Ограничения

\[ 1-25a^2\neq0 \;\Rightarrow\; a\neq\frac15,\quad a\neq-\frac15 \]

---

Шаг 5. Проверка

Возьмём \(a=0\):

• слева: \(\dfrac{-4}{1}=-4\);
• справа: \(-\dfrac{0+4}{0+1}=-4\) ✔

Возьмём \(a=1\):

• слева: \(\dfrac{5+19-4}{1-25}=\dfrac{20}{-24}=-\dfrac56\);
• справа: \(-\dfrac{1+4}{5+1}=-\dfrac56\) ✔

---

Где чаще всего ошибаются

1. Сокращают слагаемые, а не множители: \(\frac{19a}{-25a^2}\) — так нельзя, сначала только разложение.
2. Теряют множитель 5 и пишут числитель как \(\left(a-\frac15\right)(a+4)\) — тогда произведение не совпадёт с исходным.
3. Не следят за знаком: \((1-5a)=-(5a-1)\). Если этого не сделать, получится \(\dfrac{a+4}{1+5a}\) — ответ с противоположным знаком. Можно и так: \(\dfrac{(5a-1)(a+4)}{(1-5a)(1+5a)}=-\dfrac{a+4}{1+5a}\) — результат тот же.

Шаг 2 — кратко:

\[ 1-25a^2=1^2-(5a)^2=(1-5a)(1+5a)=-(5a-1)(5a+1) \]

То есть: это разность квадратов, а \(1-5a\) меняем на \(-(5a-1)\), чтобы сократить с числителем.

\[ 1-25a^2=-(5a-1)(5a+1) \]

Разность квадратов + смена знака, чтобы сократить с \((5a-1)\).

\[ \frac{(5a-1)(a+4)}{-(5a-1)(5a+1)}=-\frac{a+4}{5a+1},\qquad a\neq\pm\frac15 \]

Ответ: \(-\dfrac{a+4}{5a+1}\).

Правильный ответ:

\[ \boxed{-\frac{a+4}{5a+1}},\qquad a\neq\pm\frac15 \]

Допустимы равносильные записи:

\[ -\frac{a+4}{5a+1}=\frac{-(a+4)}{5a+1}=\frac{a+4}{-5a-1} \]

А неправильно писать \(\dfrac{a+4}{5a+1}\) — потерян минус, который даёт \((1-5a)=-(5a-1)\).

Номер 3 — решение

\[ 8(x+1)+3x\le 4x+15 \]

Ответ: \[ \boxed{x\le 1,\quad x\in(-\infty;\,1]} \]

---

Шаги

1. Раскрываем скобки: \[ 8x+8+3x\le 4x+15 \]

2. Приводим подобные в левой части: \[ 11x+8\le 4x+15 \]

3. Собираем \(x\) слева, числа справа (при переносе знак слагаемого меняется): \[ 11x-4x\le 15-8 \] \[ 7x\le 7 \]

4. Делим обе части на 7. Число положительное, поэтому знак неравенства не переворачивается: \[ x\le 1 \]

---

Проверка

• \(x=1\): слева \(8\cdot2+3\cdot1=19\), справа \(4\cdot1+15=19\) — равенство, граница входит ✔
• \(x=0\): слева \(8\), справа \(15\) — \(8\le15\) верно ✔
• \(x=2\): слева \(8\cdot3+6=30\), справа \(8+15=23\) — \(30\le23\) неверно, значит \(x=2\) не подходит ✔

---

Что важно не перепутать

• Знак неравенства переворачивается только при умножении или делении на отрицательное число — здесь этого не было.
• Граница \(x=1\) включается, потому что неравенство нестрогое (\(\le\)), — скобка у единицы квадратная.

Шаг 4 подробно: \(7x\le 7 \Rightarrow x\le 1\)

Что такое деление на 7

\[ 7x\le7 \]

Делим обе части на одно и то же число 7:

\[ \frac{7x}{7}\le\frac{7}{7} \]

\[ x\le1 \]

---

Почему знак \(\le\) остался прежним

Неравенство ведёт себя как равенство, только при умножении или делении на отрицательное число его знак переворачивается на противоположный. Здесь делитель \(7>0\), поэтому:

\[ 7x\le7 \quad\text{и}\quad x\le1 \]

— это одно и то же неравенство, у них одинаковые решения.

Для сравнения:

• \(7x\le7\), делим на \(7\) → \(x\le1\) (знак не меняется);
• \(-7x\le7\), делим на \(-7\) → \(x\ge-1\) (знак меняется, так как делили на отрицательное).

---

Как понять это на числах

Проверим само условие \(7x\le7\):

• \(x=1\): \(7\cdot1=7\), \(7\le7\) — верно, граница подходит;
• \(x=0\): \(7\cdot0=0\), \(0\le7\) — верно;
• \(x=-5\): \(7\cdot(-5)=-35\), \(-35\le7\) — верно;
• \(x=2\): \(7\cdot2=14\), \(14\le7\) — неверно.

Значит подходят все \(x\), которые не больше 1, то есть \(x\le1\).

---

Запись ответа

\[ x\in(-\infty;\,1] \]

Квадратная скобка у \(1\) — потому что неравенство нестрогое (\(\le\)): сама единица входит в ответ. У \(-\infty\) всегда круглая скобка.

Номер 5 — подробное решение

\[ (3x-1)(2x-2)=(x-5)^2+49 \]

Ответ: \[ \boxed{x_1=3{,}6;\quad x_2=-4} \]

---

1. Раскрываем скобки в левой части

\[ (3x-1)(2x-2) \]

Умножаем каждое слагаемое:

\[ 3x\cdot2x=6x^2 \] \[ 3x\cdot(-2)=-6x \] \[ (-1)\cdot2x=-2x \] \[ (-1)\cdot(-2)=2 \]

Складываем:

\[ 6x^2-6x-2x+2=6x^2-8x+2 \]

Значит, левая часть равна:

\[ 6x^2-8x+2 \]

---

2. Раскрываем правую часть

\[ (x-5)^2+49 \]

Квадрат разности:

\[ (x-5)^2=x^2-10x+25 \]

Значит:

\[ (x-5)^2+49=x^2-10x+25+49=x^2-10x+74 \]

---

3. Приравниваем и переносим всё влево

\[ 6x^2-8x+2=x^2-10x+74 \]

Переносим всё из правой части в левую:

\[ 6x^2-8x+2-x^2+10x-74=0 \]

Приводим подобные:

\[ 5x^2+2x-72=0 \]

---

4. Решаем квадратное уравнение

\[ 5x^2+2x-72=0 \]

Здесь:

\[ a=5,\quad b=2,\quad c=-72 \]

Находим дискриминант:

\[ D=b^2-4ac \]

\[ D=2^2-4\cdot5\cdot(-72) \]

\[ D=4+1440=1444 \]

\[ \sqrt{D}=\sqrt{1444}=38 \]

Корни:

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} \]

\[ x_{1,2}=\frac{-2\pm38}{10} \]

Первый корень:

\[ x_1=\frac{-2+38}{10}=\frac{36}{10}=3{,}6 \]

Второй корень:

\[ x_2=\frac{-2-38}{10}=\frac{-40}{10}=-4 \]

---

5. Проверка

Для \(x=3{,}6\):

Левая часть:

\[ (3\cdot3{,}6-1)(2\cdot3{,}6-2) \] \[ =(10{,}8-1)(7{,}2-2)=9{,}8\cdot5{,}2=50{,}96 \]

Правая часть:

\[ (3{,}6-5)^2+49=(-1{,}4)^2+49=1{,}96+49=50{,}96 \]

Совпало ✔

Для \(x=-4\):

Левая часть:

\[ (3\cdot(-4)-1)(2\cdot(-4)-2) \] \[ =(-12-1)(-8-2)=(-13)\cdot(-10)=130 \]

Правая часть:

\[ (-4-5)^2+49=(-9)^2+49=81+49=130 \]

Совпало ✔

---

Итог

\[ \boxed{x=3{,}6\quad \text{или}\quad x=-4} \]

Главное в этом номере: сначала раскрыть обе части, затем перенести всё в одну сторону и привести подобные. Только после этого получается обычное квадратное уравнение.

Шаг 2 подробно: раскрываем \((x-5)^2+49\)

Формула

Квадрат разности:

\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \]

Здесь \(a=x\), \(b=5\), то есть \(ab=x\cdot5=5x\), а удвоенное произведение \(2ab=2\cdot x\cdot5=10x\).

Подставляем:

\[ (x-5)^2=x^2-2\cdot x\cdot5+5^2=x^2-10x+25 \]

---

Откуда берётся \(10x\) — проверка умножением

\[ (x-5)^2=(x-5)(x-5) \]

Умножаем почленно:

\[ x\cdot x=x^2 \] \[ x\cdot(-5)=-5x \] \[ (-5)\cdot x=-5x \] \[ (-5)\cdot(-5)=25 \]

Складываем:

\[ x^2-5x-5x+25=x^2-10x+25 \]

Два одинаковых слагаемых \(-5x\) и \(-5x\) дают \(-10x\). Именно поэтому в формуле стоит удвоенное произведение, а не просто \(ab\).

---

Прибавляем 49

\[ (x-5)^2+49=x^2-10x+25+49 \]

\[ 25+49=74 \]

\[ (x-5)^2+49=x^2-10x+74 \]

---

Частая ошибка

Писать \((x-5)^2=x^2-25\) — это формула разности квадратов \(a^2-b^2\), а не квадрата разности. Проверка на числе: при \(x=0\) получаем \((0-5)^2=25\), а \(0^2-25=-25\). Видно, что второе неверно.

Правильно:

\[ (x-5)^2=x^2-10x+25 \]