Если двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 3, а в остатке 9. Если же из квадрата суммы цифр этого числа вычесть произведение его цифр, то получится данное число. Найти это число.
Ответ: 63.
Пусть двузначное число имеет вид \(10a+b\), где \(a\) — цифра десятков, \(b\) — цифра единиц.
1. Записываем условие про деление
Если при делении на произведение цифр \(ab\) в частном получается \(3\), а в остатке \(9\), то
\[ 10a+b=3ab+9. \]
2. Используем второе условие
Из квадрата суммы цифр вычли произведение цифр и получили само число:
\[ (a+b)^2-ab=10a+b. \]
Раскроем скобки:
\[ a^2+2ab+b^2-ab=10a+b, \]
\[ a^2+ab+b^2=10a+b. \]
Так как по первому условию \(10a+b=3ab+9\), получаем:
\[ a^2+ab+b^2=3ab+9. \]
Перенесём всё влево:
\[ a^2-2ab+b^2=9, \]
\[ (a-b)^2=9. \]
Значит,
\[ a-b=3 \quad \text{или} \quad a-b=-3. \]
То есть цифры отличаются на \(3\).
3. Рассматриваем два случая
Случай 1: \(a=b+3\).
Тогда
\[ 10(b+3)+b=3b(b+3)+9. \]
\[ 11b+30=3b^2+9b+9, \]
\[ 3b^2-2b-21=0. \]
Дискриминант:
\[ D=4+252=256=16^2. \]
\[ b=\frac{2+16}{6}=3. \]
Тогда
\[ a=3+3=6. \]
Получаем число \(63\).
Случай 2: \(a=b-3\).
Тогда
\[ 10(b-3)+b=3(b-3)b+9, \]
\[ 3b^2-20b+39=0. \]
Дискриминант:
\[ D=400-468=-68<0, \]
поэтому решений нет.
Проверка
Для числа \(63\):
\[ 6\cdot3=18, \]
\[ 63:18=3 \quad \text{(остаток }9\text{)}. \]
И второе условие:
\[ (6+3)^2-6\cdot3=81-18=63. \]
Всё сходится.
Ответ: 63.
