Реши первый вариант
Краткий ответ:
а) \(4\); б) \(\dfrac13\); в) \(2\); г) \(\dfrac14\).
Главное правило: \[ \sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}, \qquad (\sqrt[n]{a^m})^k=a^{mk/n}. \] То есть показатель корня \(n\) идёт в знаменатель, а степень \(m\) — в числитель. Также \(a^{-p}=\dfrac1{a^p}\).
Решение по пунктам:
а) \[ \left(\sqrt[6]{4^3}\right)^2 = \left(4^{3/6}\right)^2 = \left(4^{1/2}\right)^2 = 4. \] Проверка: \(4^3=64=2^6\), поэтому корень равен \(2\), а \(2^2=4\).
б) \[ \sqrt[6]{9^{-3}} = 9^{-3/6} = 9^{-1/2} = \frac1{\sqrt9} = \frac13. \]
в) \[ \left(\sqrt[10]{32}\right)^2 = 32^{2/10} = 32^{1/5} = 2, \] потому что \(32=2^5\).
г) \[ \left(\sqrt[8]{16}\right)^{-4} = 16^{-4/8} = 16^{-1/2} = \frac1{\sqrt{16}} = \frac14. \]
Во всех пунктах основания положительные, поэтому корни определены.
Обсуждение
2 сообщенияРеши
По фото видно, что это тот же вариант В-I, задание №4 — пункты совпадают с уже решёнными. Ответы подтверждаются:
а) \(\left(\sqrt[6]{4^3}\right)^2\) \[ \sqrt[6]{4^3}=4^{3/6}=4^{1/2}=\sqrt4=2,\qquad 2^2=4. \] Ответ: \(4\).
б) \(\sqrt[6]{9^{-3}}\) \[ 9^{-3/6}=9^{-1/2}=\frac1{\sqrt9}=\frac13. \] Ответ: \(\frac13\).
в) \(\left(\sqrt[10]{32}\right)^2\) \[ 32^{2/10}=32^{1/5}=2 \quad(\text{так как }2^5=32). \] Ответ: \(2\).
г) \(\left(\sqrt[8]{16}\right)^{-4}\) \[ 16^{-4/8}=16^{-1/2}=\frac1{\sqrt{16}}=\frac14. \] Ответ: \(\frac14\).
Итог: а) \(4\); б) \(\frac13\); в) \(2\); г) \(\frac14\).
