Реши задание на изображении

Краткие ответы

1. Третья сторона: \(2\sqrt{91}\) см; площадь: \(30\sqrt{3}\) см².
2. \(AB=5\) см.
3. \(\angle MPN=120^\circ\).
4. \(AC=13\).
5. \(\angle AOK=60^\circ\).

---

Как решать

№1

Даны две стороны \(10\) и \(12\), угол между ними \(120^\circ\). Третью сторону ищем по теореме косинусов:

\[ c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma \]

\[ c^2=10^2+12^2-2\cdot10\cdot12\cdot\cos120^\circ \]

Так как \(\cos120^\circ=-\frac12\):

\[ c^2=100+144+120=364 \]

\[ c=\sqrt{364}=2\sqrt{91}\ \text{см} \]

Площадь:

\[ S=\frac12 ab\sin\gamma \]

\[ S=\frac12\cdot10\cdot12\cdot\sin120^\circ =60\cdot\frac{\sqrt3}{2}=30\sqrt3\ \text{см}^2 \]

---

№2

Используем теорему синусов:

\[ \frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B} \]

\[ AB=\frac{AC\sin C}{\sin B} \]

\[ AB=\frac{5\sqrt2\cdot\sin30^\circ}{\sin45^\circ} =\frac{5\sqrt2\cdot\frac12}{\frac{\sqrt2}{2}} =5 \]

Ответ: \(AB=5\) см.

---

№3

В равностороннем треугольнике биссектрисы одновременно являются медианами и высотами.

В треугольнике \(APC\):

\[ \angle PAC=30^\circ,\qquad \angle PCA=30^\circ \]

Значит,

\[ \angle APC=180^\circ-30^\circ-30^\circ=120^\circ \]

Углы \(\angle MPN\) и \(\angle APC\) вертикальные, поэтому

\[ \angle MPN=\angle APC=120^\circ \]

---

№4

Так как \(AC=BC\), треугольник равнобедренный с основанием \(AB\). Высота \(CH\), проведённая к основанию, делит его пополам:

\[ AH=\frac{AB}{2}=5 \]

В прямоугольном треугольнике \(ACH\):

\[ AC^2=AH^2+CH^2 \]

\[ AC^2=5^2+12^2=25+144=169 \]

\[ AC=13 \]

---

№5

В равностороннем треугольнике медианы пересекаются в центре \(O\) и образуют углы по \(120^\circ\). В частности,

\[ \angle AOB=120^\circ \]

Точки \(B,O,K\) лежат на одной прямой, поэтому лучи \(OB\) и \(OK\) противоположны. Тогда

\[ \angle AOK=180^\circ-120^\circ=60^\circ \]