Реши задание на изображении

Используем правило: при \(a>0,\ a\ne1\) из \(a^{f(x)}=a^{g(x)}\) следует \(f(x)=g(x)\).

1. \(7^{-5+x}=7^3\Rightarrow -5+x=3\Rightarrow x=8\).

2. \(\left(\frac18\right)^{4x-6}=\frac1{64}\) \[ 2^{-3(4x-6)}=2^{-6}\Rightarrow -12x+18=-6\Rightarrow x=2. \]

3. \(2^{7+2x}=8^{3x}=2^{9x}\) \[ 7+2x=9x\Rightarrow x=1. \]

4. \(\left(\frac34\right)^{1/x}=\sqrt[4]{8}\)
   (показатель читаю как \(\frac1x\)) \[ \frac1x\ln\frac34=\frac14\ln8 \Rightarrow x=\frac{4\ln(3/4)}{\ln8} =\frac43\log_2\frac34\approx -0{,}553. \]

5. \(27^{2-\frac23x}=\frac1{81}\) \[ 3^{3\left(2-\frac23x\right)}=3^{-4} \Rightarrow 6-2x=-4\Rightarrow x=5. \]

6. \(16\cdot8^{2+3x}=2\) \[ 2^{4+3(2+3x)}=2^1 \Rightarrow 10+9x=1\Rightarrow x=-1. \]

7. \(0{,}6^{2x}=\left(\frac{25}{9}\right)^{x^2-12}\)
   Так как \(0{,}6=\frac35\), а \(\frac{25}{9}=\left(\frac35\right)^{-2}\): \[ \left(\frac35\right)^{2x} = \left(\frac35\right)^{-2(x^2-12)}. \] Отсюда \[ 2x=-2x^2+24 \Rightarrow x^2+x-12=0 \Rightarrow x=-4;\ 3. \]

8. \(49^{x+1}=\left(\frac17\right)^{2-x}\) \[ 7^{2x+2}=7^{x-2} \Rightarrow 2x+2=x-2\Rightarrow x=-4. \]

9. \(9\cdot81^{1-2x}=27^{2-x}\) \[ 3^{2+4(1-2x)}=3^{3(2-x)} \Rightarrow 6-8x=6-3x\Rightarrow x=0. \]

10. \(9^{2x+1}-9^{2x}=72\) \[ 9^{2x}(9-1)=72 \Rightarrow 9^{2x}=9 \Rightarrow 2x=1 \Rightarrow x=\frac12. \]

11. \(5^{x-2}=4^{2x-4}\) \[ 5^{x-2}=4^{2(x-2)}=16^{x-2} \Rightarrow \left(\frac5{16}\right)^{x-2}=1 \Rightarrow x-2=0 \Rightarrow x=2. \]

12. \(3^{2x}+5\cdot3^x-24=0\)
    Пусть \(t=3^x>0\): \[ t^2+5t-24=0 \Rightarrow t=3 \text{ или } t=-8. \] Оставляем \(t=3\): \[ 3^x=3\Rightarrow x=1. \]

13. \(2\cdot2^{2x}-5\cdot2^x+2=0\)
    Пусть \(t=2^x>0\): \[ 2t^2-5t+2=0 \Rightarrow t=2 \text{ или } t=\frac12. \] Значит: \[ 2^x=2\Rightarrow x=1,\qquad 2^x=\frac12\Rightarrow x=-1. \]

Ответы:

1. \(8\);
2. \(2\);
3. \(1\);
4. \(\frac{4\ln(3/4)}{\ln8}=\frac43\log_2\frac34\);
5. \(5\);
6. \(-1\);
7. \(-4;\ 3\);
8. \(-4\);
9. \(0\);
10. \(\frac12\);
11. \(2\);
12. \(1\);
13. \(-1;\ 1\).