Задание 4

Краткий ответ: нет. На высоте 5000 км над поверхностью Земли ускорение свободного падения уже не равно \(9{,}8\ \text{м/с}^2\): оно примерно \(3{,}1\ \text{м/с}^2\). Поэтому для расчёта силы тяжести, действующей на ракету, брать \(g=9{,}8\ \text{м/с}^2\) нельзя.

Почему так:

Ускорение свободного падения зависит от расстояния до центра Земли:

\[ g=\frac{GM}{r^2}, \qquad r=R+h. \]

У поверхности Земли:

\[ g_0=\frac{GM}{R^2}=9{,}8\ \text{м/с}^2. \]

Значит, на высоте \(h\):

\[ g_h=g_0\left(\frac{R}{R+h}\right)^2. \]

Подставляем:

\[ R=6400\ \text{км},\quad h=5000\ \text{км}, \]

\[ R+h=6400+5000=11400\ \text{км}. \]

\[ g_h=9{,}8\left(\frac{6400}{11400}\right)^2 \approx 9{,}8\cdot0{,}315 \approx 3{,}1\ \text{м/с}^2. \]

Вывод: сила тяжести равна

\[ F_{\text{тяж}}=mg_h. \]

Если подставить \(g=9{,}8\), сила получится примерно в \(3{,}2\) раза больше, чем на самом деле. Приближение \(g\approx9{,}8\ \text{м/с}^2\) годится только вблизи поверхности Земли, когда высота много меньше радиуса Земли. Здесь же 5000 км сравнимо с 6400 км, поэтому \(g\) заметно меняется.

Проверка: при \(h=0\) формула даёт \(9{,}8\ \text{м/с}^2\), а при \(h=5000\ \text{км}\) — \(3{,}1\ \text{м/с}^2\), то есть меньше. Это ожидаемо: с удалением от Земли притяжение ослабевает.