Реши задание на изображении

Ниже — подробное решение.

1. Могут ли \(b\) и \(c\) быть скрещивающимися, если \(a\) и \(b\) скрещиваются, а \(c\parallel a\)?

Да, могут.

Через прямую \(b\) проведём плоскость \(\beta\), параллельную прямой \(a\) (то есть содержащую направление \(a\)). Выберем прямую \(c\parallel a\) так, чтобы она не лежала в \(\beta\).

Тогда:

• \(b\) и \(c\) не параллельны, так как \(c\parallel a\), а \(a\) и \(b\) скрещиваются;
• \(b\) и \(c\) не пересекаются, иначе они лежали бы в одной плоскости вместе с направлением \(a\), то есть \(c\subset\beta\), что неверно;
• значит, \(b\) и \(c\) — скрещивающиеся прямые.

Ответ: да, могут.

2. Трапеция \(ABCD\), \(AD\parallel BC\), \(MN\) — средняя линия

Дано: \[ MN=6,\qquad BC=4. \]

а) \(MN\) — средняя линия трапеции, поэтому \[ MN\parallel AD. \] Так как \(AD\subset\alpha\), а \(MN\not\subset\alpha\), по признаку параллельности прямой и плоскости: \[ MN\parallel\alpha. \]

б) Длина средней линии трапеции: \[ MN=\frac{AD+BC}{2}. \] Подставим: \[ 6=\frac{AD+4}{2}, \] \[ 12=AD+4, \] \[ AD=8\ \text{см}. \]

Ответ: \(AD=8\) см.

3. Тетраэдр \(ABCD\), \(E\) и \(F\) — середины \(AB\) и \(BC\)

а) В треугольнике \(ABC\) отрезок \(EF\) соединяет середины сторон \(AB\) и \(BC\), значит, \[ EF\parallel AC. \]

Прямая \(CD\) пересекает плоскость \(ABC\) только в точке \(C\). Отрезок \(EF\) лежит в плоскости \(ABC\), но через точку \(C\) не проходит. Значит, \[ CD\cap EF=\varnothing. \]

При этом \(CD\) не параллельна \(EF\), так как \(EF\parallel AC\), а \(CD\) и \(AC\) пересекаются в точке \(C\). Следовательно, прямые \(CD\) и \(EF\) — скрещивающиеся.

б) Так как \(EF\parallel AC\), угол между скрещивающимися прямыми \(CD\) и \(EF\) равен углу между \(CD\) и \(AC\): \[ \angle(CD,EF)=\angle(CD,AC)=60^\circ. \]

Ответ: \(\angle(CD,EF)=60^\circ\).