Решение и ответ.

Краткие ответы

1. а) \(3\); б) \(3\sqrt5\).
2. \(\dfrac{\sqrt a}{\sqrt a+3}\), где \(a\ge0,\ a\ne9\).
3. а) \(6\sqrt2\); б) \(\dfrac{10\sqrt3}{9}\); в) \(3\sqrt{2a}\) при \(a\ge0\); г) \(11bc^2\sqrt b\) при \(b\ge0\).
4. а) \(\sqrt{20}\); б) \(-\sqrt{63}\); в) \(\sqrt{4x^3}\) при \(x\ge0\).
5. \(A=0{,}13\), \(B=0{,}(13)=0{,}1313\ldots\), поэтому \(B>A\).

Как решали

1. а)
   \[ \sqrt{121}-10\sqrt{6{,}4}\cdot\sqrt{0{,}1} =11-10\sqrt{6{,}4\cdot0{,}1} =11-10\sqrt{0{,}64} =11-8=3. \]

б)
\[ 2\sqrt5-\sqrt{45}+\sqrt{80} =2\sqrt5-3\sqrt5+4\sqrt5=3\sqrt5. \]

2. Обозначим \(\sqrt a=t\). Тогда \(a=t^2\), причём \(a\ge0\), \(a\ne9\): \[ \frac{a-3\sqrt a}{a-9} =\frac{t^2-3t}{t^2-9} =\frac{t(t-3)}{(t-3)(t+3)} =\frac{t}{t+3}. \] Возвращаемся к \(a\): \[ \frac{\sqrt a}{\sqrt a+3}. \]

Проверка при \(a=4\): исходная дробь даёт \(\frac{4-6}{4-9}=\frac25\), упрощённая — \(\frac{2}{2+3}=\frac25\).

3. Выносим из-под корня полные квадраты:

• \(\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2\);
• \(\sqrt{3\frac{19}{27}}=\sqrt{\frac{100}{27}}=\frac{10}{3\sqrt3}=\frac{10\sqrt3}{9}\);
• \(\sqrt{18a}=\sqrt{9\cdot2a}=3\sqrt{2a}\);
• \(\sqrt{121b^3c^4}=\sqrt{(11bc^2)^2\cdot b}=11bc^2\sqrt b\).

4. При внесении неотрицательного множителя под корень его возводят в квадрат:

• \(2\sqrt5=\sqrt{2^2\cdot5}=\sqrt{20}\);
• отрицательный знак остаётся снаружи: \[ -3\sqrt7=-\sqrt{3^2\cdot7}=-\sqrt{63}; \]
• \(2x\sqrt x=\sqrt{(2x)^2\cdot x}=\sqrt{4x^3}\), \(x\ge0\).

5. \[ A=\sqrt{0{,}12^2+0{,}05^2} =\sqrt{0{,}0144+0{,}0025} =\sqrt{0{,}0169}=0{,}13. \] При этом \[ B=0{,}(13)=0{,}131313\ldots=\frac{13}{99}. \] А \(0{,}13=\frac{13}{100}\), поэтому \[ \frac{13}{100}<\frac{13}{99}, \] то есть \(A<B\).