Написать свои точки и воссаздать новую параболу по примеру из второго фото но точки придумать другие

Краткий ответ

Один из возможных вариантов новой параболы:

\[ y=-0{,}5x^2+x+4 \]

У неё \(a=-0{,}5<0\), поэтому ветви направлены вниз. Вершина:

\[ m=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2\cdot(-0{,}5)}=1, \]

\[ n=-0{,}5\cdot1^2+1\cdot1+4=4{,}5. \]

То есть вершина — \((1;4{,}5)\).

Свои точки для построения:

\[ (-3;-3{,}5),\ (-2;0),\ (-1;2{,}5),\ (0;4),\ (1;4{,}5), \] \[ (2;4),\ (3;2{,}5),\ (4;0),\ (5;-3{,}5). \]

Пошагово, как в примере на фото

1. Выбираем коэффициенты.
   Берём \(a=-0{,}5\), \(b=1\), \(c=4\).
   В примере было \(a=0{,}5>0\), поэтому там ветви шли вверх. Здесь \(a<0\), значит, парабола будет «рожками» вниз — это другой случай, как раз для тренировки.

2. Находим вершину.
   Абсцисса вершины: \[ m=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2\cdot(-0{,}5)}=1. \] Ордината — это значение функции при \(x=1\): \[ n=-0{,}5\cdot1^2+1+4=4{,}5. \] Вершина: \((1;4{,}5)\).

3. Берём симметричные точки.
   Парабола симметрична относительно вертикальной прямой \(x=1\). Поэтому удобно брать \(x\) парами на одинаковом расстоянии от \(1\): \[ x=0 \text{ и } x=2,\quad x=-1 \text{ и } x=3,\quad x=-2 \text{ и } x=4,\quad x=-3 \text{ и } x=5. \] Считаем, например: \[ y(0)=-0{,}5\cdot0^2+0+4=4, \] \[ y(2)=-0{,}5\cdot4+2+4=4. \] Значения совпали — это и есть симметрия. Аналогично: \[ y(-1)=y(3)=2{,}5,\qquad y(-2)=y(4)=0, \] \[ y(-3)=y(5)=-3{,}5. \]

4. Строим график.
   На клетчатой плоскости из первого фото отмечаем вершину \((1;4{,}5)\) и все точки из списка. Соединяем их плавной кривой, не по линейке. Ось симметрии \(x=1\) можно показать пунктиром.

Проверка

• В форме с вершиной: \[ y=-0{,}5(x-1)^2+4{,}5. \] Если раскрыть скобки, получится исходная функция: \[ -0{,}5(x^2-2x+1)+4{,}5=-0{,}5x^2+x+4. \] Значит, вершина найдена верно.

• Парабола пересекает ось \(x\) в точках \((-2;0)\) и \((4;0)\). Это видно и по точкам, и из уравнения: \[ -0{,}5x^2+x+4=0 \Leftrightarrow x^2-2x-8=0 \Leftrightarrow (x-4)(x+2)=0. \]

Как придумать совсем другие точки

Удобно идти от вершины. Задай вершину \((m;n)\) и коэффициент \(a\):

\[ y=a(x-m)^2+n. \]

Тогда точки на расстоянии \(t\) от вершины имеют координаты:

\[ x=m\pm t,\qquad y=n+a t^2. \]

Например, если вершина \((2;3)\), а \(a=-1\):

• при \(t=1\): \(y=3-1=2\), точки \((1;2)\) и \((3;2)\);
• при \(t=2\): \(y=3-4=-1\), точки \((0;-1)\) и \((4;-1)\).

Так можно придумать свою параболу с любыми удобными точками. Чем больше \(|a|\), тем уже парабола, чем меньше \(|a|\), тем она шире.