Реши задание на изображении

В №2 в обоих вариантах не пропечатано числовое значение: в варианте 3 — \(BC\), в варианте 4 — \(AC\). Поэтому для №2 даю формулы; остальные задания решены полностью.

Вариант 3

1. По теореме косинусов: \[ c^2=4^2+8^2-2\cdot4\cdot8\cos30^\circ=80-32\sqrt3. \] \[ c=\sqrt{80-32\sqrt3}\approx4{,}96\text{ см}. \] Площадь: \[ S=\frac12\cdot4\cdot8\sin30^\circ=8\text{ см}^2. \]

2. По теореме синусов: \[ \frac{AC}{\sin30^\circ}=\frac{BC}{\sin135^\circ}. \] Значит, \[ AC=BC\cdot\frac{\sin30^\circ}{\sin135^\circ} =\frac{BC}{\sqrt2}. \]

3. Полупериметр \(p=36\). По формуле Герона: \[ S_\triangle=\sqrt{36\cdot18\cdot16\cdot2}=144. \] Радиус описанной окружности: \[ R=\frac{abc}{4S}=\frac{18\cdot20\cdot34}{4\cdot144} =21{,}25\text{ см}. \]

4. \[ S=\frac12\cdot21\cdot28=294. \]

5. \[ S=\frac12\cdot12\cdot22\sqrt3\cdot\sin60^\circ=198. \]

Вариант 4

1. \[ c^2=6^2+4^2-2\cdot6\cdot4\cos45^\circ =52-24\sqrt2. \] \[ c=\sqrt{52-24\sqrt2}\approx4{,}25\text{ см}. \] \[ S=\frac12\cdot6\cdot4\sin45^\circ=6\sqrt2\approx8{,}49\text{ см}^2. \]

2. По теореме синусов: \[ \frac{AB}{\sin45^\circ}=\frac{AC}{\sin60^\circ}. \] \[ AB=AC\cdot\frac{\sin45^\circ}{\sin60^\circ} =AC\cdot\frac{\sqrt6}{3}. \]

3. \(p=\frac{5+12+15}{2}=16\). \[ S_\triangle=\sqrt{16\cdot11\cdot4\cdot1}=8\sqrt{11}. \] Радиус вписанной окружности: \[ r=\frac{S}{p}=\frac{8\sqrt{11}}{16} =\frac{\sqrt{11}}{2}\approx1{,}66\text{ см}. \]

4. \[ S=\frac12\cdot2\cdot17=17. \]

5. \[ S=\frac12\cdot16\cdot10\sqrt2\cdot\sin45^\circ=80. \]

Что важно запомнить: если известны две стороны и угол между ними, третья сторона находится по теореме косинусов, а площадь — по формуле \(S=\frac12ab\sin\gamma\). Если известны углы и сторона — применяется теорема синусов. Радиусы окружностей удобно искать через площадь: \(R=\frac{abc}{4S}\), \(r=\frac{S}{p}\).

Какие числа пропущены в №2?