Реши задание на изображении

Краткие ответы:

1. \(15\) маршрутов.
2. а) \(756\); б) \(3276\); в) \(1820\).
3. а) \(1+5ax+10a^2x^2\); б) \(a=\frac25=0{,}4\).

1. Правило произведения

Из \(A\) в \(B\) есть 5 дорог, из \(B\) в \(C\) — 3 дороги. Для каждой дороги \(A\to B\) можно выбрать любую из 3 дорог \(B\to C\):

\[ 5\cdot 3=15. \]

Проверка: каждый маршрут — это пара «дорога \(A\to B\) + дорога \(B\to C\)», значит, всего \(5\cdot3\) пар.

2. Размещения и сочетания

В классе 28 учеников: 15 девочек и 13 мальчиков.

а) Выбираем лидера и его помощника — это разные роли, поэтому порядок важен:

\[ 28\cdot27=756. \]

Сначала 28 вариантов выбрать лидера, затем 27 — помощника.

б) Выбираем трёх дежурных, порядок внутри группы не важен:

\[ \binom{28}{3}=\frac{28\cdot27\cdot26}{3!}=3276. \]

в) Нужно, чтобы среди трёх дежурных было не менее 2 девочек, то есть либо 2 девочки и 1 мальчик, либо 3 девочки:

\[ \binom{15}{2}\binom{13}{1}+\binom{15}{3} =105\cdot13+455 =1365+455 =1820. \]

Проверка: \(1820<3276\), то есть это меньше общего числа всех возможных групп из трёх учеников.

3. Бином Ньютона

Формула:

\[ (1+ax)^5=\sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k}(ax)^k. \]

а) Первые три члена по возрастанию степени \(x\):

\[ (1+ax)^5 =1+5ax+10a^2x^2+\ldots \]

Ответ:

\[ \boxed{1+5ax+10a^2x^2} \]

б) Найдём коэффициент при \(x\) в выражении

\[ (1-2x)(1+ax)^5. \]

Используем разложение:

\[ (1-2x)(1+5ax+\ldots) =1+(5a-2)x+\ldots \]

По условию коэффициент при \(x\) равен нулю:

\[ 5a-2=0, \]

\[ 5a=2, \]

\[ \boxed{a=\frac25=0{,}4}. \]

Проверка: при \(a=0{,}4\) коэффициент равен \(5\cdot0{,}4-2=2-2=0\).