Реши этот пример и объясни как это делать
В задании не указано, что именно нужно сделать с функцией. Обычно в 9 классе для такой записи требуется построить график и описать свойства. Разберу этот стандартный вариант — если нужно только найти вершину или нули, скажи.
Кратко: график \(y=-x^2+8x-15\) — парабола ветвями вниз; вершина \((4;1)\); нули функции \(x=3\) и \(x=5\); область значений \(y\le 1\).
Как это делать (алгоритм)
Определи тип функции.
Это квадратичная функция вида \(y=ax^2+bx+c\), где \(a=-1,\ b=8,\ c=-15\).
Так как \(a<0\), ветви параболы направлены вниз.Найди вершину параболы.
Абсцисса вершины:
\[ x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2\cdot(-1)}=4. \] Ордината: подставь \(x=4\) в формулу: \[ y_0=-4^2+8\cdot4-15=-16+32-15=1. \] Вершина: \((4;1)\). Прямая \(x=4\) — ось симметрии.Найди нули функции (точки пересечения с осью \(Ox\)).
Реши уравнение \(-x^2+8x-15=0\). Умножь на \(-1\): \[ x^2-8x+15=0. \] По теореме Виета: \(x_1+x_2=8,\ x_1x_2=15\), значит \(x_1=3,\ x_2=5\).
Точки: \((3;0)\) и \((5;0)\).Найди точку пересечения с осью \(Oy\).
При \(x=0\): \(y=-15\), точка \((0;-15)\).
Симметричная ей точка относительно \(x=4\): \((8;-15)\).Возьми 1–2 дополнительные точки для точности построения.
Например, при \(x=2\): \(y=-4+16-15=-3\); при \(x=6\): \(y=-36+48-15=-3\).
Точки \((2;-3)\) и \((6;-3)\).Построй график по найденным точкам: вершина \((4;1)\), нули \((3;0)\), \((5;0)\), точка \((0;-15)\) и симметричные. Соедини плавной линией — получится парабола ветвями вниз.
Опиши свойства (если требуется):
- область определения: \(x\in(-\infty;+\infty)\);
- область значений: \(y\in(-\infty;1]\);
- возрастает при \(x\le4\), убывает при \(x\ge4\);
- \(y>0\) при \(x\in(3;5)\); \(y<0\) при \(x\in(-\infty;3)\cup(5;+\infty)\).
Проверка
Подставим \(x=4\): \(-16+32-15=1\) — вершина верна.
Подставим \(x=3\): \(-9+24-15=0\) — нуль верен.
Подставим \(x=5\): \(-25+40-15=0\) — нуль верен.
Значит, координаты найдены правильно.
Если в задании нужно было только «решить пример» в смысле найти что-то одно (например, вершину), уточни — я перестрою ответ.
Обсуждение
2 сообщенияРеши задание 8 и объясни как это сделать
Ответ для №8: \(y=-x^2+8x-15\). Это парабола ветвями вниз, вершина \((4;1)\), нули функции \(x=3\) и \(x=5\), точка пересечения с осью \(Oy\) — \((0;-15)\).
Алгоритм построения
1. Определи направление ветвей
Функция имеет вид \(y=ax^2+bx+c\), где \[ a=-1,\quad b=8,\quad c=-15. \] Так как \(a=-1<0\), ветви параболы направлены вниз.
2. Найди вершину параболы
Абсцисса вершины: \[ x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2\cdot(-1)}=4. \] Подставь \(x=4\) в функцию: \[ y_0=-4^2+8\cdot4-15=-16+32-15=1. \] Вершина: \((4;1)\). Прямая \(x=4\) — ось симметрии параболы.
3. Найди нули функции (пересечение с осью \(Ox\))
Реши уравнение: \[ -x^2+8x-15=0. \] Умножь на \(-1\): \[ x^2-8x+15=0. \] По теореме Виета: \[ x_1+x_2=8,\quad x_1x_2=15, \] значит \[ x_1=3,\quad x_2=5. \] Точки пересечения с осью \(Ox\): \((3;0)\) и \((5;0)\).
4. Найди точку пересечения с осью \(Oy\)
При \(x=0\):
\[
y=-0^2+8\cdot0-15=-15.
\]
Точка: \((0;-15)\).
Симметричная ей точка относительно прямой \(x=4\): \((8;-15)\).
5. Возьми дополнительные точки
Составь таблицу значений:
| \(x\) | \(-2\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) | \(10\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(-35\) | \(-15\) | \(-8\) | \(-3\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(-3\) | \(-8\) | \(-15\) | \(-35\) |
Например: \[ x=2:\quad y=-2^2+8\cdot2-15=-4+16-15=-3. \] \[ x=6:\quad y=-6^2+8\cdot6-15=-36+48-15=-3. \]
6. Построй график
- Отметь вершину \((4;1)\).
- Отметь нули \((3;0)\) и \((5;0)\).
- Отметь \((0;-15)\) и симметричную \((8;-15)\).
- Добавь точки \((2;-3)\), \((6;-3)\), \((1;-8)\), \((7;-8)\).
- Соедини точки плавной линией — ветви должны идти вниз.
7. Опиши свойства функции
- Область определения: \(x\in(-\infty;+\infty)\).
- Область значений: \(y\in(-\infty;1]\).
- Функция возрастает при \(x\le4\) и убывает при \(x\ge4\).
- \(y>0\) при \(x\in(3;5)\).
- \(y<0\) при \(x\in(-\infty;3)\cup(5;+\infty)\).
- Наибольшее значение функции \(y=1\) достигается при \(x=4\).
Проверка
\[ y(4)=-16+32-15=1, \] \[ y(3)=-9+24-15=0, \] \[ y(5)=-25+40-15=0. \] Всё сходится: вершина и нули найдены верно.
