Реши задание на изображении

Кратко:

1. \(x=\sqrt5\);
2. \(S=200\);
3. \(AC=4\sqrt2\) см.

1) Найти \(x\)

В треугольнике известны две стороны \(3\) и \(\sqrt2\), а угол между ними равен \(45^\circ\). Сторона \(x\) лежит против этого угла, поэтому применяем теорему косинусов:

\[ x^2=3^2+(\sqrt2)^2-2\cdot 3\cdot \sqrt2\cdot \cos45^\circ \]

Так как \(\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\):

\[ x^2=9+2-2\cdot3\cdot\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2} \]

\[ x^2=11-6=5 \]

\[ x=\sqrt5 \]

Берём положительный корень, потому что длина стороны положительна.

Ответ: \(\boxed{x=\sqrt5}\).

2) Площадь треугольника

Если известны две стороны \(a\), \(b\) и угол \(\gamma\) между ними, то

\[ S=\frac12 ab\sin\gamma \]

Подставляем \(a=40\), \(b=20\), \(\gamma=30^\circ\):

\[ S=\frac12\cdot40\cdot20\cdot\sin30^\circ \]

\[ S=\frac12\cdot40\cdot20\cdot\frac12=200 \]

Ответ: \(\boxed{200}\).

3) Найти \(AC\)

В треугольнике \(ABC\):

• \(AB=4\) см — сторона против угла \(C\);
• \(AC\) — сторона против угла \(B\);
• \(\angle C=30^\circ\), \(\angle B=45^\circ\).

По теореме синусов:

\[ \frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C} \]

\[ AC=AB\cdot\frac{\sin B}{\sin C} \]

\[ AC=4\cdot\frac{\sin45^\circ}{\sin30^\circ} \]

\[ AC=4\cdot\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac12}=4\sqrt2 \]

Ответ: \(\boxed{AC=4\sqrt2\text{ см}}\).

Как выбирать способ:

• есть две стороны и угол между ними — теорема косинусов;
• нужна площадь по двум сторонам и углу — формула \(S=\frac12ab\sin\gamma\);
• есть сторона и два угла — теорема синусов.