Решить показательное уравнение методом введения новой переменной
Хорошо, давайте разберемся с этим показательным уравнением. Задача у нас такая:
5^(2x) - 6 * 5^x + 5 = 0
Чтобы решить это уравнение методом введения новой переменной, нам нужно заметить, что мы можем представить его в виде квадратного уравнения относительно переменной 5^x.
Введем новую переменную:
t = 5^x
Тогда 5^(2x) = (5^x)^(2) = t^2
Теперь исходное уравнение примет вид:
t^2 - 6t + 5 = 0
Это квадратное уравнение, и давайте найдем его корни. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:
D = b^2 - 4ac
где a = 1, b = -6 и c = 5. Подставляем значения и находим D:
D = (-6)^2 - 415 = 36 - 20 = 16
Дискриминант положительный, значит уравнение имеет два корня. Найдем их по формулам:
t1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) t2 = (-b - sqrt(D)) / (2a)
Подставляем значения и получаем корни:
t1 = (6 + 4) / 2 = 10 / 2 = 5 t2 = (6 - 4) / 2 = 2 / 2 = 1
Теперь вспомним, что t = 5^x, и соответственно для нахождения x подставим значения t обратно:
- t1 = 5 => 5^x = 5 => x = 1 (так как 5^1 = 5)
- t2 = 1 => 5
