Реши

На фото три задания. Кратко: №2 — диагонали равнобедренной трапеции равны; №24 — периметр \(25\) см; №25 — другая боковая сторона \(12\) см.

№2. Диагонали равнобедренной трапеции

Заполнение пропусков:

• диагонали равны;
• \(AB=DC\);
• доказать: \(AC=DB\);
• а) трапеция равнобедренная, значит, \(\angle BAD=\angle CDA\);
• б) \(\triangle ABD=\triangle DCA\) по двум сторонам и углу между ними: \[ AB=DC,\qquad AD=DA,\qquad \angle BAD=\angle CDA. \] Следовательно, \(AC=DB\).

Идея: у равнобедренной трапеции равны углы при основании, поэтому два треугольника с общей диагональю и равными боковыми сторонами равны по первому признаку.

№24. Периметр трапеции

Рассмотрим равнобедренную трапецию \(EHMT\) с основаниями \(HM\) и \(ET\). По условию: \[ EH=MT=5,\qquad \angle E=60^\circ,\qquad ET=2HM. \]

Пусть \(HM=x\), тогда \(ET=2x\). Проведём \(HO\parallel MT\), \(O\in ET\). Получаем параллелограмм \(HMTO\), поэтому \[ OT=HM=x,\qquad HO=MT=5. \]

В треугольнике \(EHO\): \[ EH=HO=5,\qquad \angle E=60^\circ. \] Он равнобедренный с углом \(60^\circ\), значит, равносторонний: \[ EO=5. \]

Но \[ EO=ET-OT=2x-x=x, \] поэтому \(x=5\). Тогда \[ HM=5,\qquad ET=10. \]

Периметр: \[ P=EH+HM+MT+ET=5+5+5+10=25\text{ см}. \]

Ответ: \(25\) см.

№25. Другая боковая сторона прямоугольной трапеции

В прямоугольной трапеции меньшая боковая сторона перпендикулярна основаниям, то есть она является высотой: \[ h=6\text{ см}. \]

Острый угол между наклонной боковой стороной и основанием равен \(30^\circ\). В получившемся прямоугольном треугольнике высота \(6\) см лежит против угла \(30^\circ\), а другая боковая сторона — гипотенуза \(c\). Тогда \[ \sin30^\circ=\frac{6}{c}, \] \[ \frac12=\frac{6}{c}, \] \[ c=12\text{ см}. \]

Ответ: \(12\) см.