Реши задание на изображении

Ниже — полные решения по пунктам.

1. Четыре разных шара

Нужно расставить 4 разных предмета по 4 местам.
На первое место можно поставить любой из 4 шаров, на второе — любой из оставшихся 3, на третье — из 2, на последнее — 1.

\[ 4\cdot3\cdot2\cdot1=4!=24 \]

Ответ: 24 способа.

---

2. Три друга у прилавка

Пусть друзей зовут \(A,B,C\). Нужно посчитать, сколькими способами они могут встать в очередь.

Первого выбираем 3 способами, второго — 2, третьего — 1:

\[ 3\cdot2\cdot1=3!=6 \]

Все варианты:

\[ ABC,\ ACB,\ BAC,\ BCA,\ CAB,\ CBA \]

Ответ: 6 способов.

---

3. Расписание из 5 разных уроков

Всего 5 различных уроков. Без дополнительных условий их можно переставить

\[ 5!=120 \]

способами.

а) Биология стоит первой

Если биология уже стоит на первом месте, то остальные 4 урока можно переставить между собой:

\[ 4!=24 \]

Ответ: 24 способа.

б) История не стоит первой

Сначала найдём, сколько расписаний, где история стоит первой. Тогда остальные 4 урока переставляются:

\[ 4!=24 \]

Значит, расписаний, где история не первая:

\[ 120-24=96 \]

Можно посчитать иначе: на первое место выбираем любой урок, кроме истории, — 4 варианта. Остальные 4 урока расставляем \(4!\) способами:

\[ 4\cdot4!=4\cdot24=96 \]

Ответ: 96 способов.

в) Русский и литература стоят рядом

«Склеиваем» русский и литературу в один блок. Тогда вместе с остальными тремя уроками получается 4 объекта. Их можно переставить

\[ 4!=24 \]

способами.

Внутри блока русский и литература могут стоять в двух порядках:

\[ \text{русский, литература} \quad \text{или} \quad \text{литература, русский} \]

Поэтому:

\[ 2\cdot4!=2\cdot24=48 \]

Ответ: 48 способов.

---

4. Фраза «Сегодня на улице пасмурно»

Слова во фразе:

\[ \text{Сегодня} \quad \text{на} \quad \text{улице} \quad \text{пасмурно} \]

Предлог на нельзя отрывать от слова улице, иначе получится бессмысленное сочетание. Поэтому считаем «на улице» одним блоком.

Получаем 3 блока:

\[ \text{Сегодня},\quad \text{на улице},\quad \text{пасмурно} \]

Их можно переставить

\[ 3!=6 \]

способами.

Все варианты:

1. Сегодня на улице пасмурно.
2. Сегодня пасмурно на улице.
3. На улице сегодня пасмурно.
4. На улице пасмурно сегодня.
5. Пасмурно сегодня на улице.
6. Пасмурно на улице сегодня.

Ответ: 6 способов.

---

5. Четырёхзначные числа без повторения цифр

Четырёхзначное число не может начинаться с нуля.

а) Из цифр \(5,6,7,8\)

Все цифры ненулевые, повторять их нельзя. Значит, используем все 4 цифры по одному разу.

На первое место — 4 варианта, на второе — 3, на третье — 2, на четвёртое — 1:

\[ 4\cdot3\cdot2\cdot1=4!=24 \]

Ответ: 24 числа.

б) Из цифр \(0,2,7,8\)

На первое место нельзя ставить 0. Поэтому на первое место можно поставить только 2, 7 или 8 — всего 3 варианта.

После этого остаются 3 цифры, их можно расставить на оставшиеся места:

\[ 3! \]

способами.

Итого:

\[ 3\cdot3!=3\cdot6=18 \]

Можно проверить вычитанием: всего четырёхзначных перестановок из 4 цифр было бы \(4!=24\), но из них \(3!=6\) начинаются с нуля. Тогда:

\[ 24-6=18 \]

Ответ: 18 чисел.

---

6. Пять девочек в ряд

а) Оля стоит последней

Если Оля уже стоит на последнем месте, то остальные 4 девочки можно переставить:

\[ 4!=24 \]

способами.

Ответ: 24 способа.

б) Оля и Маша стоят рядом

Считаем Олю и Машу одним блоком. Тогда вместе с остальными тремя девочками имеем 4 объекта:

\[ (\text{Оля и Маша}),\ \text{девочка 1},\ \text{девочка 2},\ \text{девочка 3} \]

Эти 4 объекта можно переставить \(4!\) способами.

Внутри блока Оля и Маша могут стоять так:

\[ \text{Оля—Маша} \quad \text{или} \quad \text{Маша—Оля} \]

То есть 2 варианта.

Итого:

\[ 4!\cdot2=24\cdot2=48 \]

Ответ: 48 способов.

---

Итоговые ответы

1. 24
2. 6
3. а) 24; б) 96; в) 48
4. 6
5. а) 24; б) 18
6. а) 24; б) 48