Реши задание на изображении
Кратко:
а) \(M(-3;5),\ N(7;-3)\)
\[
(x-2)^2+(y-1)^2=41
\]
б) \(M(2;-1),\ N(4;3)\)
\[
(x-3)^2+(y-1)^2=5
\]
Как решать
Уравнение окружности с центром \(O(x_0;y_0)\) и радиусом \(R\):
\[ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 \]
Если \(MN\) — диаметр, то:
центр окружности — середина \(MN\): \[ x_0=\frac{x_M+x_N}{2},\qquad y_0=\frac{y_M+y_N}{2} \]
радиус — половина диаметра, то есть \(R=\frac{MN}{2}\), или можно найти расстояние от центра до \(M\).
а) \(M(-3;5)\), \(N(7;-3)\)
Центр:
\[ x_0=\frac{-3+7}{2}=2,\qquad y_0=\frac{5+(-3)}{2}=1 \]
Значит, \(O(2;1)\).
Радиус:
\[ R=OM=\sqrt{(2-(-3))^2+(1-5)^2} =\sqrt{25+16}=\sqrt{41} \]
Уравнение:
\[ \boxed{(x-2)^2+(y-1)^2=41} \]
Проверка: точка \(N(7;-3)\) тоже должна подходить:
\[ (7-2)^2+(-3-1)^2=25+16=41 \]
Верно.
б) \(M(2;-1)\), \(N(4;3)\)
Центр:
\[ x_0=\frac{2+4}{2}=3,\qquad y_0=\frac{-1+3}{2}=1 \]
Значит, \(O(3;1)\).
Радиус:
\[ R=OM=\sqrt{(3-2)^2+(1-(-1))^2} =\sqrt{1+4}=\sqrt5 \]
Уравнение:
\[ \boxed{(x-3)^2+(y-1)^2=5} \]
Проверка по точке \(N(4;3)\):
\[ (4-3)^2+(3-1)^2=1+4=5 \]
Верно.
Главный принцип: концы диаметра дают центр как середину отрезка, а радиус — расстояние от центра до любого конца диаметра. В правой части уравнения всегда стоит \(R^2\), а не \(R\).
