Реши задание на изображении

Давай разберём по-простому, по шагам.

Главная идея

Уравнение окружности выглядит так:

\[ (x-a)^2+(y-b)^2=R^2 \]

где \((a;b)\) — центр окружности, \(R\) — её радиус.

То есть если центр, например, \((2;1)\), то в уравнении будет:

\[ (x-2)^2+(y-1)^2=R^2 \]

Обрати внимание: координаты центра вычитаются. Знак может поменяться: если центр \((2;1)\), пишем \(x-2\) и \(y-1\).

Если \(MN\) — диаметр, то:

1. центр окружности находится ровно посередине между \(M\) и \(N\);
2. радиус — это расстояние от центра до \(M\) или до \(N\).

---

а) \(M(-3;5)\), \(N(7;-3)\)

1. Находим центр

Координаты середины отрезка находятся так:

\[ x=\frac{x_1+x_2}{2},\qquad y=\frac{y_1+y_2}{2} \]

Подставляем:

\[ x_O=\frac{-3+7}{2}=\frac{4}{2}=2 \]

\[ y_O=\frac{5+(-3)}{2}=\frac{2}{2}=1 \]

Значит, центр:

\[ O(2;1) \]

2. Находим радиус

Берём расстояние от центра \(O(2;1)\) до точки \(M(-3;5)\):

\[ R=OM=\sqrt{(2-(-3))^2+(1-5)^2} \]

Считаем:

\[ 2-(-3)=2+3=5 \]

\[ 1-5=-4 \]

Тогда:

\[ R=\sqrt{5^2+(-4)^2} =\sqrt{25+16} =\sqrt{41} \]

3. Записываем уравнение

В формуле стоит \(R^2\), а не \(R\). Поэтому:

\[ (x-2)^2+(y-1)^2=41 \]

Ответ а):

\[ \boxed{(x-2)^2+(y-1)^2=41} \]

---

б) \(M(2;-1)\), \(N(4;3)\)

1. Центр

\[ x_O=\frac{2+4}{2}=3 \]

\[ y_O=\frac{-1+3}{2}=1 \]

Центр:

\[ O(3;1) \]

2. Радиус

\[ R=OM=\sqrt{(3-2)^2+(1-(-1))^2} \]

\[ 3-2=1,\qquad 1-(-1)=1+1=2 \]

Значит:

\[ R=\sqrt{1^2+2^2} =\sqrt{1+4} =\sqrt{5} \]

3. Уравнение

\[ (x-3)^2+(y-1)^2=5 \]

Ответ б):

\[ \boxed{(x-3)^2+(y-1)^2=5} \]

---

Коротко запомнить

1. Центр — середина диаметра.
2. Радиус — расстояние от центра до конца диаметра.
3. В уравнении справа пишем \(R^2\), то есть радиус в квадрате.
4. Если центр \((a;b)\), то в уравнении будет \((x-a)^2+(y-b)^2\).

Хорошо, начнём со второго действия — с радиуса. После того как центр уже найден.

Что такое радиус здесь

Радиус — это расстояние от центра окружности до любой её точки.

Так как точки \(M\) и \(N\) лежат на окружности, то:

\[ OM=ON=R \]

То есть можно взять центр \(O\) и точку \(M\) и найти расстояние между ними.

Формула расстояния между двумя точками:

\[ R^2=(x_O-x_M)^2+(y_O-y_M)^2 \]

Сразу считаем \(R^2\), потому что именно \(R^2\) нужно в уравнении окружности.

---

а) Центр \(O(2;1)\), точка \(M(-3;5)\)

Берём координаты:

\[ O(2;1),\qquad M(-3;5) \]

Считаем разность по \(x\):

\[ 2-(-3)=2+3=5 \]

Считаем разность по \(y\):

\[ 1-5=-4 \]

Теперь каждую разность возводим в квадрат:

\[ 5^2=25 \]

\[ (-4)^2=16 \]

Почему \((-4)^2\) положительное? Потому что:

\[ (-4)\cdot(-4)=16 \]

Складываем:

\[ R^2=25+16=41 \]

Если нужен сам радиус, то:

\[ R=\sqrt{41} \]

Но в уравнение окружности справа пишется \(R^2\), поэтому пишем не \(\sqrt{41}\), а \(41\):

\[ (x-2)^2+(y-1)^2=41 \]

---

б) Центр \(O(3;1)\), точка \(M(2;-1)\)

Разность по \(x\):

\[ 3-2=1 \]

Разность по \(y\):

\[ 1-(-1)=1+1=2 \]

Возводим в квадрат:

\[ 1^2=1,\qquad 2^2=4 \]

Складываем:

\[ R^2=1+4=5 \]

Значит:

\[ R=\sqrt{5} \]

Но в уравнение пишем \(R^2\), то есть \(5\):

\[ (x-3)^2+(y-1)^2=5 \]

---

Самое главное

Второе действие — это просто:

1. Взять центр \(O\) и любую точку окружности \(M\).
2. Найти разности их координат.
3. Возвести эти разности в квадрат.
4. Сложить.

Получится \(R^2\).

А в уравнение окружности справа пишется именно \(R^2\):

\[ (x-a)^2+(y-b)^2=R^2 \]

То есть если получилось \(R^2=41\), справа пишем \(41\), а не \(\sqrt{41}\).

Потому что 2 и 1 — это координаты центра окружности, а не какие-то случайные числа.

В уравнении окружности:

\[ (x-a)^2+(y-b)^2=R^2 \]

где \((a;b)\) — центр окружности.

В пункте а) мы нашли центр:

\[ O(2;1) \]

Значит:

\[ a=2,\qquad b=1 \]

Поэтому в формуле появляются \(2\) и \(1\):

\[ (x-2)^2+(y-1)^2=41 \]

То есть:

• \(2\) взяли из координаты \(x\) центра;
• \(1\) взяли из координаты \(y\) центра;
• \(41\) — это \(R^2\), радиус в квадрате.

Обрати внимание на знак: в формуле \((x-a)^2\), поэтому если центр \(x=2\), пишем:

\[ x-2 \]

А если бы центр был \((-2;3)\), то было бы:

\[ (x-(-2))^2+(y-3)^2=(x+2)^2+(y-3)^2 \]

В пункте б) центр другой:

\[ O(3;1) \]

Поэтому там уже стоят \(3\) и \(1\):

\[ (x-3)^2+(y-1)^2=5 \]

Коротко: \(2\) и \(1\) — это координаты центра \(O(2;1)\), найденного как середина диаметра. Их берём именно потому, что уравнение окружности всегда строится по её центру.

Потому что \(2\) и \(1\) — это координаты центра окружности.

В первом действии мы нашли центр как середину диаметра:

\[ O(2;1) \]

Значит:

• \(x\)-координата центра равна \(2\);
• \(y\)-координата центра равна \(1\).

Общий вид уравнения окружности с центром \(O(a;b)\):

\[ (x-a)^2+(y-b)^2=R^2 \]

То есть в формулу подставляются координаты центра, а не координаты точек \(M\) или \(N\).

Если центр \(O(2;1)\), то \(a=2\), \(b=1\), поэтому:

\[ (x-2)^2+(y-1)^2=41 \]

А почему именно с минусом? Потому что расстояние от произвольной точки окружности \((x;y)\) до центра \((2;1)\) равно радиусу:

\[ \sqrt{(x-2)^2+(y-1)^2}=R \]

Возводим обе части в квадрат:

\[ (x-2)^2+(y-1)^2=R^2 \]

Для пункта б) центр был \(O(3;1)\), поэтому там появились числа \(3\) и \(1\):

\[ (x-3)^2+(y-1)^2=5 \]

Коротко:

\[ \boxed{\text{центр }(a;b)\ \Rightarrow\ (x-a)^2+(y-b)^2=R^2} \]

То есть числа \(2\) и \(1\) в формуле — это просто координаты центра, найденного как середина диаметра.