Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

$$x_1=2,\qquad x_2=3$$

Как это получается

Способ 1. Разложение на множители (главная идея).

Ищем два числа, которые в сумме дают 5 (коэффициент при $x$ с обратным знаком), а в произведении — 6 (свободный член). Это 2 и 3, поэтому

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю:

$$x-2=0 \Rightarrow x=2,\qquad x-3=0 \Rightarrow x=3.$$

Способ 2. Через дискриминант (работает всегда).

$$D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1,\qquad \sqrt{D}=1,$$

$$x=\frac{5\pm1}{2}\Rightarrow x_1=\frac{6}{2}=3,\quad x_2=\frac{4}{2}=2.$$

Способ 3. Теорема Виета (для приведённого уравнения $x^2+px+q=0$):

$$x_1+x_2=5,\qquad x_1\cdot x_2=6.$$

Подбор даёт те же 2 и 3 — удобно, когда корни целые.

Проверка

$$2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0,\qquad 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0.$$

Оба корня подходят.

Принцип на будущее: если уравнение раскладывается на множители — решай через них (быстро); если подбор не идёт — считай дискриминант, он даёт корни всегда.