Угол при основании равнобедренного треугольника mpk равен 30°, а Боковая сторона MP = 14 найти медиану ме проведенной к боковой стороне PK и высоту к основанию MK

Краткий ответ:
Высота к основанию \(MK\) равна \(\;7\).
Медиана \(ME\) к боковой стороне \(PK\) равна \(\;7\sqrt7\).

Решение

Так как \(MK\) — основание равнобедренного треугольника, то
\[ MP=PK=14,\qquad \angle M=\angle K=30^\circ. \] Тогда \[ \angle P=180^\circ-30^\circ-30^\circ=120^\circ. \]

1. Высота к основанию \(MK\)

Проведём высоту \(PH\). В равнобедренном треугольнике она делит основание пополам.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(MPH\). Угол при основании \(M\) равен \(30^\circ\), а гипотенуза \(MP=14\). Катет \(PH\) лежит против угла \(30^\circ\), поэтому \[ PH=\frac{MP}{2}=\frac{14}{2}=7. \]

Значит, высота к основанию равна
\[ \boxed{7}. \]

Заодно \[ MH=MP\cos30^\circ=14\cdot\frac{\sqrt3}{2}=7\sqrt3, \] поэтому \[ MK=2MH=14\sqrt3. \]

2. Медиана \(ME\) к стороне \(PK\)

Поставим координаты: \[ M(0;0),\quad K(14\sqrt3;0),\quad P(7\sqrt3;7). \] Точка \(E\) — середина \(PK\), значит \[ E\left(\frac{7\sqrt3+14\sqrt3}{2};\frac{7+0}{2}\right) = E\left(\frac{21\sqrt3}{2};\frac72\right). \]

Тогда \[ ME^2=\left(\frac{21\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\frac72\right)^2 =\frac{1323}{4}+\frac{49}{4} =\frac{1372}{4}=343. \] Отсюда \[ ME=\sqrt{343}=7\sqrt7. \]

Ответ

\[ \boxed{ME=7\sqrt7,\qquad PH=7} \] где \(PH\) — высота к основанию \(MK\).

Проверка через формулу медианы: \[ ME=\frac12\sqrt{2MP^2+2MK^2-PK^2} =\frac12\sqrt{2\cdot14^2+2(14\sqrt3)^2-14^2} =7\sqrt7. \]