Ответ: 4,5

Ключевая идея. Если из одной вершины тетраэдра выходят три взаимно перпендикулярных ребра, то его удобно считать «прямоугольной» пирамидой: объём равен одной шестой произведения этих рёбер.

Шаги.

1. Поместим вершину $S$ в начало координат, а рёбра $SA$, $SB$, $SC$ направим по осям $x$, $y$, $z$ (они перпендикулярны друг другу по условию): $$A(3;0;0),\quad B(0;3;0),\quad C(0;0;3).$$

2. Объём тетраэдра — шестая часть модуля смешанного произведения векторов $\vec{SA},\vec{SB},\vec{SC}$: $$V=\frac{1}{6}\cdot 3\cdot 3\cdot 3=\frac{27}{6}=4{,}5.$$

Проверка через основание.

• $ABC$ — правильный треугольник со стороной $3\sqrt2$, его площадь $\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot 18=\dfrac{9\sqrt3}{2}$;
• расстояние от $S$ до плоскости $ABC$ ($x+y+z=3$): $\dfrac{3}{\sqrt3}=\sqrt3$;
• $V=\dfrac13\cdot\dfrac{9\sqrt3}{2}\cdot\sqrt3=\dfrac13\cdot\dfrac{27}{2}=4{,}5$. ✔

Запомнить: для тетраэдра с тремя взаимно перпендикулярными рёбрами $a,b,c$ из общей вершины $V=\dfrac{abc}{6}$ — это ровно $\frac13$ объёма прямоугольного параллелепипеда $abc$.

Задание 3 профильного ЕГЭ — стереометрия. Там нужен только краткий ответ, поэтому решают почти всегда «в одну формулу»: объём, площадь поверхности, отношение объёмов подобных тел. Ниже — вся теория, которая реально нужна.

1. Многогранники

Для наклонной призмы: $V=S_{\perp}\cdot l$, где $S_\perp$ — перпендикулярное сечение, $l$ — боковое ребро (не высота!).

2. Тела вращения

• Цилиндр: $V=\pi R^2h$; $S_{\text{бок}}=2\pi Rh$; $S_{\text{полн}}=2\pi R(R+h)$. Осевое сечение — прямоугольник $2R\times h$.
• Конус: $V=\tfrac13\pi R^2h$; $l=\sqrt{R^2+h^2}$; $S_{\text{бок}}=\pi Rl$; $S_{\text{полн}}=\pi R(R+l)$. Развёртка — сектор радиуса $l$ с углом $\alpha=\dfrac{2\pi R}{l}$.
• Усечённый конус: $V=\dfrac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2)$; $S_{\text{бок}}=\pi(R+r)l$, где $l=\sqrt{h^2+(R-r)^2}$.
• Шар: $V=\tfrac43\pi R^3$; $S=4\pi R^2$. Шаровой сегмент высоты $h$: $V=\pi h^2!\left(R-\tfrac{h}{3}\right)$.

3. Подобие — главный «ускоритель» задачи 3

Если тела подобны с коэффициентом $k$, то: $$\text{длины}\times k,\qquad \text{площади}\times k^2,\qquad \text{объёмы}\times k^3.$$

Отсюда: сечение параллельно основанию пирамиды на расстоянии от вершины в $k$ раз меньше высоты отсекает пирамиду объёмом $k^3V$.

Пирамиды с общей вершиной и основаниями в одной плоскости: $\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{S_1}{S_2}$.

4. Вписанные и описанные тела (частые сюжеты)

• Куб: вписанный шар $2r=a$, описанный $2R=a\sqrt3$.
• Шар, вписанный в цилиндр: $h=2R$, при этом $V_{\text{шара}}=\tfrac23V_{\text{цил}}$.
• Шар в конусе / около конуса → рассматривай осевое сечение: окружность, вписанная в равнобедренный треугольник (или описанная около него).

5. Наш пример как частный случай

Тетраэдр с тремя взаимно перпендикулярными рёбрами $a,b,c$ из одной вершины — это «уголок» параллелепипеда: $$V=\frac{abc}{6}=\frac13\cdot\frac{V_{\text{паралл.}}}{2}.$$ Тот же приём «достроить до параллелепипеда» работает и с наклонными призмами.

6. Типичные ловушки

1. Забыть $\tfrac13$ у пирамиды и конуса.
2. Спутать радиус с диаметром ($2R=a$).
3. Ответить $S_{\text{бок}}$ вместо $S_{\text{полн}}$ (и наоборот).
4. В подобных телах умножить объём на $k$ вместо $k^3$.
5. Взять в наклонной призме боковое ребро вместо высоты.

Быстрая проверка: цилиндр и конус имеют общее основание и высоту; объём цилиндра равен 60. Объём конуса? $;V=\tfrac13\cdot60=20$.

Скажи, какой формат нужен дальше: разбор реальных прототипов задания 3 по темам (призма / пирамида / тела вращения / комбинации) или короткий тренажёр с проверкой ответов.

Речь о профильном ЕГЭ (как и задание 3, которое разбирали): задание 11 — «Графики функций». Дают рисунок графика с отмеченными точками или асимптотами и просят найти параметр, значение функции в точке или выражение из коэффициентов. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь. Ниже — весь нужный инструментарий.

1. Линейная $y=kx+b$

• $b$ — ордината точки пересечения с осью $Oy$ (при $x=0$).
• $k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ — «подъём на клетку вправо». $k>0$ — возрастает, $k<0$ — убывает.

Как считать по клеткам: берём две «узловые» точки, считаем вертикаль и горизонталь между ними, $k=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$.

2. Квадратичная $y=ax^2+bx+c$

• $c$ — точка пересечения с $Oy$ (не путать с $b$!).
• $a>0$ — ветви вверх, $a<0$ — вниз.
• Ось симметрии $x_0=-\dfrac{b}{2a}$ — читается по графику; вершина $(x_0;,y_0)$.
• Если видны корни $x_1,x_2$, то $y=a(x-x_1)(x-x_2)$ — $a$ находится по любой третьей точке.
• Если дана вершина $(x_0;y_0)$: $y=a(x-x_0)^2+y_0$.

3. Гипербола $y=\dfrac{k}{x}$

$k=xy$ для любой точки графика. Ветви в I и III четверти → $k>0$; во II и IV → $k<0$. Сдвинутая: $y=\dfrac{k}{x-m}+n$ — асимптоты $x=m$, $y=n$.

4. Показательная $y=a^x+b$

• Горизонтальная асимптота $y=b$ (при $x\to-\infty$). Асимптота даёт $b$, а не точку пересечения.
• Дальше $a$ — по одной точке: $a^{x_0}=-b+y_0$.
• Сдвинутая: $y=a^{x-m}+n$ — асимптота $y=n$, «нулевая» точка при $x=m$.

5. Логарифмическая $y=\log_a x+b$

• Вертикальная асимптота $x=0$ (или $x=m$ для $y=\log_a(x-m)+n$).
• График всегда проходит через $(1;,b)$ — это ключевая точка.
• $a>1$ — возрастает, $0<a<1$ — убывает; $a$ находим по точке: $\log_a x_0=y_0-b$.

6. Тригонометрические $y=a\cos x+b$ (или $\sin$)

• Средняя линия $y=b$: $b=\dfrac{y_{\max}+y_{\min}}{2}$.
• Амплитуда: $|a|=\dfrac{y_{\max}-y_{\min}}{2}$.
• Знак $a$ — по поведению в точке $x=0$ (для косинуса).

7. Корень и модуль

• $y=k\sqrt{x}$ — по точке: $k=\dfrac{y}{\sqrt{x}}$.
• $y=|x-m|+n$ — «угол» с вершиной $(m;n)$.

8. Разобранные примеры

Прямая. Точки $(0;-1)$ и $(2;3)$. Тогда $b=-1$, $k=\dfrac{3-(-1)}{2-0}=2$; $y=2x-1$, значит $f(-5)=-11$.

Парабола. Вершина $(1;-4)$, проходит через $(0;-3)$. Из $Oy$: $c=-3$. Вершина: $a+b-3=-4\Rightarrow a+b=-1$ и $b=-2a$, откуда $a=1$, $b=-2$: $y=x^2-2x-3$. Тогда $f(4)=16-8-3=5$.

Показательная. Асимптота $y=-2$, проходит через $(2;2)$. Значит $b=-2$ и $a^2-2=2\Rightarrow a=2$: $y=2^x-2$, $f(3)=6$.

9. Ловушки

1. В параболе взять $b$ вместо $c$ (свободный член — это всегда пересечение с $Oy$).
2. Перевернуть отношение в $k$: правильно $\Delta y/\Delta x$.
3. У показательной/логарифмической принять асимптоту за значение функции.
4. Потерять знак $k$ у гиперболы.
5. Считать коэффициент по неточной (не «узловой») точке — берите точки на пересечении линий сетки.

10. Мини-тренажёр

1. Прямая проходит через $(0;2)$ и $(-1;-1)$. Найдите $f(3)$.
2. Гипербола $y=\dfrac{k}{x}$ проходит через $(-2;3)$. Найдите $f(6)$.

Ответы: 1) $y=3x+2$, $f(3)=11$; 2) $k=-6$, $f(6)=-1$.

Скажу дальше: могу разобрать конкретный график с фото или дать подборку прототипов по типам функций.

План подготовки к ЕГЭ по профильной математике

Шаг 0. Диагностика (1–2 дня)

Реши один полный вариант прошлого года по времени (3 ч 55 мин) и посчитай, сколько набрал по каждому заданию. Так ты увидишь, где реальные дыры, а не «кажется, что не умею». Заведи два файла: тетрадь ошибок (задание → в чём ошибся → правильный ход) и список тем.

Шаг 1. База: задания 1–12 (главный приоритет)

Это ~60% баллов, и они решаются за минуты, если довести до автоматизма.

• По одной теме в 3–4 дня: теория → 15–20 прототипов → разбор ошибок.
• Порядок: планиметрия 1, 3 → стереометрия 2, 3 → вычисления и преобразования 6, 7, 9 → уравнения 5 → производная и графики 8, 11 → текстовые 10 → вероятность 4 → параметры-графики 12.
• Цель к марту: 11–12 из 12 в части 1 стабильно, за 80–90 минут.

Шаг 2. Часть 2: выбрать 3–4 «своих» номера

Не бери всё. Самая выгодная связка:

Планиметрия (17) и параметр (18) — только если база и эти четыре уже стабильны.

Шаг 3. Режим недели

• 3–4 занятия по 60–90 минут. Лучше коротко и часто, чем раз в неделю 4 часа.
• Каждое занятие: 15 мин разминка по старым темам → 50 мин новая тема → 15 мин разбор ошибок.
• Раз в 2 недели — пробник целиком по времени; с апреля — раз в неделю.
• Ошибки перерешивай через 3 дня и через 2 недели (интервальное повторение).

Шаг 4. Календарь по месяцам

• Сентябрь–ноябрь: диагностика, вся база 1–12, тетрадь ошибок.
• Декабрь–февраль: добить базу до 11–12, начать 13 и 15, первый пробник на реальный балл.
• Март–апрель: 13, 15, 14(а), 16; пробники каждую неделю, работа над таймингом.
• Май: только повторение и пробники. Новых тем не брать.

Шаг 5. Тайминг на экзамене

• Часть 1 — 90 минут максимум, не застревать: 5 минут без прогресса → пропустил.
• Часть 2 — остальное время, начинать с самого «своего» номера.
• Обязательно 10 минут в конце на проверку бланка и ответов.

Шаг 6. Что чаще всего топит

1. Учат новые темы вместо доведения базы.
2. Решают «глазами», не записывая — на экзамене не воспроизводится.
3. Не считают баллы по пробникам, поэтому не видят прогресса.
4. Забывают про оформление в части 2 (обоснование отбора корней, ОДЗ).

Чтобы подогнать план под тебя, скажи две вещи: сколько месяцев осталось до экзамена и какой балл сейчас даёт пробник (или сколько заданий из части 1 решаешь). С этим сделаю расписание по неделям и список тем в нужном порядке.