Задача Задача №3749491
А
А
Признаки делимости
Краткий ответ
Признак делимости — это правило, которое позволяет узнать, делится ли число на другое, не выполняя само деление. Все «школьные» признаки опираются на одно: число в десятичной записи — это сумма разрядов (тысячи, сотни, десятки, единицы), а степени 10 по-разному ведут себя при делении.
Главный принцип
Любое число можно записать так: \[ \overline{abc} = a\cdot 100 + b\cdot 10 + c \]
Дальше смотрим, что даёт деление на нужное число у слагаемых \(100, 10, 1\):
- на 2 и на 5: \(10\) делится и на 2, и на 5, поэтому вся часть с сотнями и десятками «не мешает» — важна только последняя цифра;
- на 4 и на 25: \(100\) делится на 4 и на 25, значит важны только две последние цифры;
- на 8: \(1000\) делится на 8 → важны три последние цифры;
- на 3 и на 9: \(10\) при делении на 3 и на 9 даёт остаток 1 (\(10 = 9+1\), \(10 = 3\cdot3+1\)), а \(100\), \(1000\) и т. д. — тоже остаток 1. Поэтому остаток всего числа равен остатку суммы цифр;
- на 11: \(10\) при делении на 11 даёт остаток \(-1\) (\(10 = 11 - 1\)). Поэтому знаки чередуются: \(+c - b + a - \ldots\)
Основные признаки
| Делитель | Правило | Пример |
|---|---|---|
| 2 | последняя цифра чётная: 0, 2, 4, 6, 8 | 3 458 ✔ |
| 5 | последняя цифра 0 или 5 | 1 245 ✔ |
| 10 | последняя цифра 0 | 4 730 ✔ |
| 3 | сумма цифр делится на 3 | 7 524: \(7+5+2+4=18\) ✔ |
| 9 | сумма цифр делится на 9 | 7 524: \(18\) ✔ |
| 4 | две последние цифры образуют число, кратное 4 | 7 524: \(24\) ✔ |
| 25 | две последние цифры: 00, 25, 50, 75 | 3 175 ✔ |
| 8 | три последние цифры кратны 8 | 51 024: \(024=24\) ✔ |
| 11 | сумма цифр на одних местах минус сумма на других делится на 11 | 3 465: \(5-6+4-3=0\) ✔ |
| 6 | делится и на 2, и на 3 | 7 524 ✔ |
| 12 | делится на 3 и на 4 | 7 524 ✔ |
Проверка результата
Всегда можно убедиться делением или умножением:
- \(7\,524 : 3 = 2\,508\), \(7\,524 : 9 = 836\), \(7\,524 : 4 = 1\,881\) — признаки сработали;
- \(3\,465 : 11 = 315\);
- \(51\,024 : 8 = 6\,378\).
Как решать похожие задания
- Определи делитель и выбери подходящее правило (не считай «в столбик», если можно обойтись признаком).
- Примени правило к нужной части записи: последняя цифра / две / три цифры / сумма цифр.
- Для составного делителя раскладывай на взаимно простые множители: \(6 = 2\cdot3\), \(12 = 3\cdot4\), \(15 = 3\cdot5\). Ловушка: для 12 нельзя проверять «делится на 2 и на 6» — это не гарантирует делимость на 12 (например, 18).
- Проверь делением или умножением — особенно если ответ «делится».
Если пришлёшь конкретное число или само задание (например, «вычеркни лишнее» или «вставь цифру вместо *»), разберём его по этим шагам.
Обсуждение
1 сообщение А
