реши
Ответ:
\(\displaystyle \frac{6x-1}{4x^2-1}\), где \(x\neq -3,\ \pm\frac12\).
\(\displaystyle -\frac{a+1}{a-1}\), где \(a\neq \pm1\).
1) \(\displaystyle \frac{1-2x}{2x+1}+\frac{x^2+3x}{4x^2-1}:\frac{3+x}{4x+2}\)
Сначала выполняем деление — переворачиваем вторую дробь:
\[ \frac{x^2+3x}{4x^2-1}\cdot \frac{4x+2}{x+3} \]
Раскладываем на множители:
\[ x^2+3x=x(x+3),\qquad 4x^2-1=(2x-1)(2x+1), \] \[ 4x+2=2(2x+1). \]
Получаем:
\[ \frac{x(x+3)}{(2x-1)(2x+1)}\cdot \frac{2(2x+1)}{x+3} =\frac{2x}{2x-1}. \]
Теперь складываем:
\[ \frac{1-2x}{2x+1}+\frac{2x}{2x-1} = \frac{(1-2x)(2x-1)+2x(2x+1)}{(2x+1)(2x-1)} = \frac{6x-1}{4x^2-1}. \]
Ограничения: \(x\neq -3\), \(x\neq \pm\frac12\), потому что при этих значениях исходное выражение не определено.
2) \(\displaystyle (a^2+2a+1)\left(\frac1{a+1}+\frac1{a^2-1}-\frac1{a-1}\right)\)
Так как
\[ a^2+2a+1=(a+1)^2,\qquad a^2-1=(a-1)(a+1), \]
приводим выражение в скобках к общему знаменателю:
\[ \frac1{a+1}+\frac1{(a-1)(a+1)}-\frac1{a-1} = \frac{a-1+1-(a+1)}{(a-1)(a+1)} = -\frac1{a^2-1}. \]
Умножаем:
\[ (a+1)^2\cdot\left(-\frac1{(a-1)(a+1)}\right) = -\frac{a+1}{a-1}. \]
Ограничения: \(a\neq \pm1\).
Проверка: при \(x=0\) первое выражение равно \(1\), и формула даёт \(\frac{-1}{-1}=1\). При \(a=0\) второе выражение равно \(1\), и формула даёт \(\frac{-1}{-1}=1\).
Если в нижней строке у тебя случайно получилось \(x^2+x\) вместо \(x^2+3x\), проверь переписывание: сокращение идёт именно потому, что \(x^2+3x=x(x+3)\).
