Реши задание на изображении

На фото несколько заданий (857–860). Ниже — ответы для всех видимых пунктов и принцип решения; если нужен только один номер, бери соответствующий блок. Пункт 860(5) обрезан, поэтому его нет.

Краткие ответы

857.

1. \(k=1,\ b=-5\)
2. \(k=1,\ b=5\)
3. \(k=-\sqrt3,\ b=1+\sqrt3\)
4. \(k=-\frac{\sqrt3}{3},\ b=-1-\frac{\sqrt3}{3}\)

858.

1. \(3\)
2. \(\frac{\sqrt2}{2}\)
3. \(1\)
4. \(3\)

859. (углы в радианах)

1. \(\frac{\pi}{4}\)
2. \(-\frac{\pi}{4}\)
3. \(\frac{\pi}{6}\)
4. \(-\frac{\pi}{3}\)
5. \(\arctan\left(\frac{3\sqrt e}{2}\right)\)
6. \(\arctan\frac25\)

860.

1. \(y=3x\)
2. \(y=-11x+12\)
3. \(y=-\frac{x}{9}+\frac23\)
4. \(y=-\frac{x}{4}-1\)

Как решать

857. Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона:
\[ k=\tan\alpha. \]
Точка \((x_0;y_0)\) лежит на прямой, поэтому
\[ y_0=kx_0+b \quad\Rightarrow\quad b=y_0-kx_0. \]
Пример 2: \(k=\tan\frac\pi4=1\), тогда \(b=2-1\cdot(-3)=5\).

858. Угловой коэффициент касательной в точке \(x_0\) — это значение производной:
\[ k=f'(x_0). \]
Пример 1: \(f'(x)=3x^2\), значит \(f'(1)=3\).

859. Так как \(k=\tan\alpha=f'(x_0)\), то
\[ \alpha=\arctan f'(x_0). \]
Знак сохраняем, как в №857; если в вашем курсе нужен острый угол, берут модуль.
Пример 1: \(f'(x)=x^2\), \(f'(1)=1\), поэтому \(\alpha=\frac\pi4\).
Пример 2: \(f'(x)=-\frac1{x^2}\), \(f'(1)=-1\), поэтому \(\alpha=-\frac\pi4\) (острый угол \(\frac\pi4\)).

860. Уравнение касательной:
\[ y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0). \]
Пример 2:
\[ f(2)=2-3\cdot4=-10,\quad f'(x)=1-6x,\quad f'(2)=-11. \]
Тогда
\[ y=-10-11(x-2)=-11x+12. \]

Проверка

Для 860(2): при \(x=2\) получаем \(y=-10=f(2)\), а коэффициент \(-11=f'(2)\).
Для 857(2): при \(x=-3\) получаем \(y=-3+5=2\). Всё сходится.

Главная идея: производная в точке — это угловой коэффициент касательной; уравнение касательной — прямая с этим коэффициентом, проходящая через точку графика.