Задача Задача №3749519
А
А
Реши
Кратко:
- Для прямой \(y=kx+b\) угловой коэффициент \(k=\operatorname{tg}\alpha\), а \(b=y_0-kx_0\).
- Угловой коэффициент касательной в точке \(x_0\): \(k=f'(x_0)\).
- Уравнение касательной:
\[ y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0). \]
Если нужны именно обведённые пункты:
857(2): \(y=x+5\); 860(2): \(y=12-11x\).
857
Для пункта (2):
\[
k=\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}=1,\qquad b=2-1\cdot(-3)=5.
\]
| № | \(k\) | \(b\) | уравнение |
|---|---|---|---|
| 1 | \(1\) | \(-5\) | \(y=x-5\) |
| 2 | \(1\) | \(5\) | \(y=x+5\) |
| 3 | \(-\sqrt3\) | \(1+\sqrt3\) | \(y=-\sqrt3x+1+\sqrt3\) |
| 4 | \(-\frac{\sqrt3}{3}\) | \(-1-\frac{\sqrt3}{3}\) | \(y=-\frac{\sqrt3}{3}x-1-\frac{\sqrt3}{3}\) |
858
Угловой коэффициент касательной: \(k=f'(x_0)\).
| № | \(f'(x)\) | \(k=f'(x_0)\) |
|---|---|---|
| 1 | \(3x^2\) | \(3\) |
| 2 | \(\cos x\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) |
| 3 | \(\frac1x\) | \(1\) |
| 4 | \(e^x\) | \(3\) |
Например, в (4): \(f'(\ln3)=e^{\ln3}=3\).
859
Считаем по формуле
\[
\operatorname{tg}\alpha=f'(x_0).
\]
Ниже \(\alpha\) — угол наклона к положительному направлению оси \(Ox\), \(0\le\alpha<\pi\). В скобках — меньший угол между прямыми, если учитель требует именно его.
| № | \(f'(x_0)\) | \(\alpha\) | меньший угол |
|---|---|---|---|
| 1 | \(1\) | \(\frac{\pi}{4}=45^\circ\) | \(45^\circ\) |
| 2 | \(-1\) | \(\frac{3\pi}{4}=135^\circ\) | \(45^\circ\) |
| 3 | \(\frac1{\sqrt3}\) | \(\frac{\pi}{6}=30^\circ\) | \(30^\circ\) |
| 4 | \(-\sqrt3\) | \(\frac{2\pi}{3}=120^\circ\) | \(60^\circ\) |
| 5 | \(\frac{3\sqrt e}{2}\) | \(\arctan\frac{3\sqrt e}{2}\approx68{,}0^\circ\) | то же |
| 6 | \(\frac25\) | \(\arctan\frac25\approx21{,}8^\circ\) | то же |
860
Используем \(y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\).
Для (2):
\[
f(2)=2-3\cdot4=-10,\quad f'(x)=1-6x,\quad f'(2)=-11,
\]
\[
y=-10-11(x-2)=12-11x.
\]
| № | \(f'(x)\) | \(f(x_0)\) | \(f'(x_0)\) | уравнение касательной |
|---|---|---|---|---|
| 1 | \(2x+1\) | \(3\) | \(3\) | \(y=3x\) |
| 2 | \(1-6x\) | \(-10\) | \(-11\) | \(y=12-11x\) |
| 3 | \(-\frac1{x^2}\) | \(\frac13\) | \(-\frac19\) | \(y=\frac23-\frac{x}{9}\) |
| 4 | \(-\frac1{x^2}\) | \(-\frac12\) | \(-\frac14\) | \(y=-1-\frac{x}{4}\) |
Проверить можно так: подставь \(x_0\) в готовое уравнение — должно получиться \(y_0\).
Пункт \(860(5)\) на фото обрезан, поэтому его не решаю.
