Доказать что треугольники равны
Кратко: треугольники равны по второму признаку равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Докажем, что
\[
\triangle QMK \cong \triangle PMF.
\]
Доказательство:
По рисунку прямые \(QF\) и \(KP\) пересекаются в точке \(M\). Поэтому
\[ \angle QMK = \angle PMF \] как вертикальные углы.По условию отмечены равные углы: \[ \angle MQK = \angle MPF. \]
По условию отмечены равные стороны: \[ QM = MP. \]
Теперь в треугольнике \(QMK\) сторона \(QM\) лежит между углами \(\angle Q\) и \(\angle M\), а в треугольнике \(PMF\) сторона \(PM\) лежит между равными им углами \(\angle P\) и \(\angle M\).
Значит, треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам: \[ \triangle QMK \cong \triangle PMF. \]
Проверка соответствия:
\(Q \leftrightarrow P,\quad M \leftrightarrow M,\quad K \leftrightarrow F\).
Поэтому также должны быть равны:
\[
QK = PF,\qquad MK = MF.
\]
Обсуждение
2 сообщениярасписать на дано доказательства и тп
Ниже — и формальное оформление доказательства из предыдущего задания, и решения задач 6–8 с фото.
Доказательство из предыдущего задания
Дано:
\(QF\cap KP=M\),
\(QM=MP\),
\(\angle MQK=\angle MPF\).
Доказать:
\[
\triangle QMK\cong\triangle PMF.
\]
Доказательство:
- \(\angle QMK=\angle PMF\) — как вертикальные углы при пересечении прямых \(QF\) и \(KP\).
- \(\angle MQK=\angle MPF\) — по условию.
- \(QM=MP\) — по условию.
- В \(\triangle QMK\) сторона \(QM\) прилежит к углам \(\angle MQK\) и \(\angle QMK\), а в \(\triangle PMF\) сторона \(MP\) — к равным им углам.
Значит, треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам — это 2-й признак равенства треугольников.
\[ \boxed{\triangle QMK\cong\triangle PMF} \]
Ч.т.д.
Следствие:
\[
QK=PF,\qquad MK=MF.
\]
Задача 6
Дано:
\(\triangle ABC\), \(AC=BC\),
\(P=3{,}4\), \(BC=1{,}3\).
Найти:
\(AB\).
Решение:
Равные стороны отмечены штрихами, значит
\[
AC=BC=1{,}3.
\]
Периметр треугольника: \[ P=AB+BC+AC. \]
Тогда \[ AB=P-BC-AC=3{,}4-1{,}3-1{,}3=0{,}8. \]
Ответ:
\[
\boxed{AB=0{,}8}
\]
Задача 7
Дано:
\(\triangle MEN\), \(ME=EN\),
\[
MN-EN=1,\qquad MN=2{,}3.
\]
Найти:
периметр \(P\).
Решение:
Из условия:
\[
EN=MN-1=2{,}3-1=1{,}3.
\]
Так как \(ME=EN\), то \[ ME=1{,}3. \]
Периметр: \[ P=ME+EN+MN=1{,}3+1{,}3+2{,}3=4{,}9. \]
Ответ:
\[
\boxed{P=4{,}9}
\]
Задача 8
Дано:
\(\triangle KMN\), \(\angle KMN=\angle KNM\),
\(R\in MN\), \(MR=RN\),
\[
KM+MR=25.
\]
Найти:
периметр \(P\).
Решение:
В \(\triangle KMN\) углы при основании \(MN\) равны, значит треугольник равнобедренный:
\[
KM=KN.
\]
Так как \(R\) — середина \(MN\), то \[ MN=MR+RN=2MR. \]
Периметр: \[ P=KM+KN+MN. \]
Подставляем \(KN=KM\) и \(MN=2MR\): \[ P=KM+KM+2MR=2KM+2MR=2(KM+MR). \]
По условию \(KM+MR=25\), поэтому \[ P=2\cdot 25=50. \]
Ответ:
\[
\boxed{P=50}
\]
