Реши задание на изображении
На фото номера 151–153. Решаю все пункты.
Краткие ответы
151.
а) \(\dfrac{2x+1}{2x-1}\), \(x\neq -1;\ \frac12\);
б) \(-\dfrac{5y}{y+1}\), \(y\neq -1;0;1\);
в) \(-a\), \(a\neq \pm2\);
г) \(\dfrac{(x-2)(x^2+2)}{x(x-3)}\), \(x\neq0;3\).
152.
а) \(\dfrac{10}{2m+1}\), \(m\neq -\frac12;0;\frac12\);
б) \(\dfrac{2}{x-3}\), \(x\neq \pm3\).
153.
а) \(6\), \(a\neq \pm3\);
б) \(10\), \(x\neq \pm5y\).
Как это получается
Главный принцип: сначала действия в скобках — приводим к общему знаменателю; деление заменяем умножением на обратную дробь; затем раскладываем на множители и сокращаем. Запрещённые значения переменной берём из исходной записи — после сокращения они не «исчезают».
151
а)
\[
\frac{x}{x+1}+1=\frac{x+x+1}{x+1}=\frac{2x+1}{x+1}.
\]
Тогда
\[
\frac{2x+1}{x+1}\cdot \frac{x+1}{2x-1}
=\frac{2x+1}{2x-1}.
\]
б)
\[
1-\frac1{1-y}=\frac{1-y-1}{1-y}=\frac{-y}{1-y}.
\]
\[
\frac{5y^2}{1-y^2}:\frac{-y}{1-y}
=\frac{5y^2}{(1-y)(1+y)}\cdot\frac{1-y}{-y}
=-\frac{5y}{1+y}.
\]
в)
\[
\frac{4a}{2-a}-a
=\frac{a^2+2a}{2-a}
=\frac{a(a+2)}{2-a}.
\]
Делим:
\[
\frac{a(a+2)}{2-a}\cdot\frac{a-2}{a+2}=-a.
\]
г)
\[
x+\frac2x=\frac{x^2+2}{x}.
\]
Поэтому
\[
\frac{x-2}{x-3}\cdot\frac{x^2+2}{x}
=\frac{(x-2)(x^2+2)}{x(x-3)}.
\]
152
а)
\[
\frac{2m+1}{2m-1}-\frac{2m-1}{2m+1}
=\frac{(2m+1)^2-(2m-1)^2}{(2m-1)(2m+1)}
=\frac{8m}{4m^2-1}.
\]
Далее:
\[
\frac{8m}{4m^2-1}:\frac{4m}{10m-5}
=\frac{8m}{4m^2-1}\cdot\frac{10m-5}{4m}
=\frac{10}{2m+1}.
\]
б)
\[
\frac{x+3}{x-3}+\frac{x-3}{x+3}
=\frac{(x+3)^2+(x-3)^2}{x^2-9}
=\frac{2(x^2+9)}{x^2-9}.
\]
Тогда
\[
\frac{x+3}{x^2+9}\cdot\frac{2(x^2+9)}{x^2-9}
=\frac{2}{x-3}.
\]
153
а)
\[
\frac{6a+1}{a-3}+\frac{6a-1}{a+3}
=\frac{6(2a^2+1)}{a^2-9}.
\]
Умножаем:
\[
\frac{a^2-9}{2a^2+1}\cdot\frac{6(2a^2+1)}{a^2-9}=6.
\]
б)
\[
\frac{5x+y}{x-5y}+\frac{5x-y}{x+5y}
=\frac{10(x^2+y^2)}{x^2-25y^2}.
\]
При делении на \(\frac{x^2+y^2}{x^2-25y^2}\) дробь переворачивается:
\[
\frac{10(x^2+y^2)}{x^2-25y^2}\cdot
\frac{x^2-25y^2}{x^2+y^2}=10.
\]
Проверка: например, в 152б при \(x=1\) левая часть даёт \(-1\), и \(\frac{2}{1-3}=-1\). Всё сходится.
