Реши
На фото три номера — разберём каждый. Главная идея: средняя линия треугольника и теорема Вариньона о серединах сторон.
74. Ответ: \(14\) см
В ромбе \(AB=BC=CD=DA=5\) см.
\(FP\) — средняя линия в \(\triangle BCD\), поэтому \[ FP=\frac{BD}{2}. \]
\(MP\) — средняя линия в \(\triangle ACD\), поэтому \[ MP=\frac{AC}{2}. \]
\(FM=AB=5\) см: отрезок, соединяющий середины противоположных сторон параллелограмма, равен другой стороне. Действительно, \(AM\parallel BF\) и \(AM=BF\), значит \(ABFM\) — параллелограмм, откуда \(FM=AB\).
Периметр \(\triangle FPM\): \[ 5+\frac{BD}{2}+\frac{AC}{2}=12. \] Тогда \[ \frac{AC+BD}{2}=7, \qquad AC+BD=14. \]
Ответ: \(14\) см.
Проверка: возможны диагонали \(6\) и \(8\) см; тогда стороны треугольника \(FPM\) равны \(3,4,5\), периметр \(12\), а сторона ромба \(\sqrt{3^2+4^2}=5\).
75
Используем средние линии:
\[ MF\parallel AC,\quad MF=\frac{AC}{2}, \] \[ PK\parallel AC,\quad PK=\frac{AC}{2}, \] \[ FK\parallel BD,\quad FK=\frac{BD}{2}, \] \[ MP\parallel BD,\quad MP=\frac{BD}{2}. \]
Значит, \(MFKP\) — параллелограмм. Но \(AC\perp BD\), поэтому \(MF\perp FK\). То есть \(MFKP\) — прямоугольник.
В прямоугольнике диагонали равны, следовательно, \[ \boxed{MK=FP}. \]
76. Ответы
- Середины сторон квадрата образуют квадрат.
- Если у четырёхугольника диагонали перпендикулярны, то середины его сторон образуют прямоугольник (квадрат — частный случай, если диагонали ещё и равны).
Причина: середины сторон любого четырёхугольника дают параллелограмм Вариньона, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырёхугольника. Перпендикулярность диагоналей даёт прямые углы, а равенство диагоналей — равенство соседних сторон.
