156

Краткий ответ:

1. \(49\)
2. \(0{,}125\)
3. \(1{,}44\)
4. \(-1\)
5. \(-0{,}512\)
6. \(\dfrac{1}{1296}\)
7. \(\dfrac{1}{64}\)
8. \(-\dfrac{1000}{27}=-37\dfrac{1}{27}\)

Как это устроено

Степень \(a^n\) — это произведение \(n\) одинаковых множителей: \[ a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n\text{ раз}}. \]

Правила, которые здесь нужны:

1. Знак степени.
   Если основание отрицательное, то:

   • чётная степень даёт «плюс»;
   • нечётная степень даёт «минус».

2. Обыкновенная дробь.
   \[ \left(\frac{m}{n}\right)^k=\frac{m^k}{n^k}. \]

3. Смешанное число сначала переводим в неправильную дробь.

Проверяем по пунктам

1. \(7^2=7\cdot7=49\)

2. \(0{,}5^3=0{,}5\cdot0{,}5\cdot0{,}5=0{,}125\)

3. \(1{,}2^2=1{,}2\cdot1{,}2=1{,}44\)

4. \((-1)^7=-1\), потому что показатель 7 нечётный.

5. \((-0{,}8)^3=-(0{,}8)^3=-0{,}512\)

6. \(\left(\frac16\right)^4=\frac{1^4}{6^4}=\frac{1}{1296}\)

7. \(\left(-\frac12\right)^6=\frac{1}{2^6}=\frac{1}{64}\), так как степень чётная.

8. \(-3\frac13=-\frac{10}{3}\), поэтому \[ \left(-\frac{10}{3}\right)^3=-\frac{1000}{27}=-37\frac{1}{27}. \]

Главное: сначала определить знак, потом возвести в степень модуль числа. Для дробей отдельно считаем числитель и знаменатель.