Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ: \(x_1=2,\; x_2=3\).

Как решить:

Заметим, что свободный член \(6\) раскладывается на множители, дающие в сумме \(5\):

\[ 2\cdot 3=6,\qquad 2+3=5. \]

Поэтому:

\[ x^2-5x+6=x^2-2x-3x+6=x(x-2)-3(x-2)=(x-2)(x-3). \]

Получаем:

\[ (x-2)(x-3)=0. \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

\[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0, \]

то есть:

\[ x=2 \quad\text{или}\quad x=3. \]

Проверка:

\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0, \]

\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]

Принцип: квадратное уравнение часто удобно раскладывать на множители. Если корни \(x_1\) и \(x_2\), то уравнение можно записать как

\[ (x-x_1)(x-x_2)=0. \]

Для \(x^2-5x+6=0\) подходят числа \(2\) и \(3\), потому что их сумма равна \(5\), а произведение равно \(6\).