Реши задание на изображении

№ 80. Краткий ответ: а) \(\dfrac{7a}{8}\); б) \(\dfrac{5a}{8}\).

Как решать

Обозначим \(QB=x\).

Из условия \[ AP=2PQ=2QB \] следует: \[ QB=x,\qquad PQ=x,\qquad AP=2x. \]

Тогда весь отрезок: \[ AB=AP+PQ+QB=2x+x+x=4x. \] Но \(AB=a\), значит: \[ 4x=a \quad\Rightarrow\quad x=\frac a4. \]

То есть отрезки идут так: \[ A\ \overset{2x}{\text{---}}\ P\ \overset{x}{\text{---}}\ Q\ \overset{x}{\text{---}}\ B. \]

Удобно расставить координаты от точки \(A\), считая \(A=0\): \[ P=2x,\qquad Q=3x,\qquad B=4x. \]

а) Расстояние от \(A\) до середины \(QB\)

Середина \(QB\) находится посередине между \(Q=3x\) и \(B=4x\): \[ \frac{3x+4x}{2}=3{,}5x=\frac{7x}{2}. \] Так как \(x=\frac a4\), то \[ \frac{7x}{2}=\frac{7}{2}\cdot\frac a4=\frac{7a}{8}. \]

Ответ: \(\dfrac{7a}{8}\).

б) Расстояние между серединами \(AP\) и \(QB\)

Середина \(AP\): \[ \frac{0+2x}{2}=x. \] Середина \(QB\): \[ \frac{7x}{2}. \] Расстояние между ними: \[ \frac{7x}{2}-x=\frac{7x}{2}-\frac{2x}{2}=\frac{5x}{2}. \] Подставляем \(x=\frac a4\): \[ \frac{5}{2}\cdot\frac a4=\frac{5a}{8}. \]

Ответ: \(\dfrac{5a}{8}\).

Если \(a\) выражено в сантиметрах, то ответы также получатся в сантиметрах.