Реши задание на изображении
Краткий ответ:
а) \(\triangle ABM=\triangle CDK\);
б) четырёхугольник \(AMCK\) — ромб.
Почему это так
\(ABCD\) — ромб, поэтому
\[ AB=CD,\qquad AO=OC,\qquad BO=OD,\qquad AC\perp BD. \]В треугольниках \(ABM\) и \(CDK\):
- \(AB=CD\) — стороны ромба;
- \(BM=DK\) — по условию;
- \(\angle ABM=\angle CDK\), так как \(AB\parallel CD\), а \(BD\) — секущая: это накрест лежащие углы.
Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними: \[ \triangle ABM=\triangle CDK. \]
Точка \(O\) — середина \(BD\). Из равенства \(BM=DK\) следует, что точки \(M\) и \(K\) расположены симметрично относительно \(O\), поэтому \[ OM=OK. \]
В четырёхугольнике \(AMCK\) диагонали \(AC\) и \(MK\) пересекаются в точке \(O\) и делятся ею пополам: \[ AO=OC,\qquad OM=OK. \] Значит, \(AMCK\) — параллелограмм.
Кроме того, \(AC\perp BD\), а \(MK\) лежит на \(BD\), поэтому \[ AC\perp MK. \] Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом. Следовательно, \(AMCK\) — ромб.
Проверка: у \(AMCK\) диагонали делятся пополам — это даёт параллелограмм; они ещё и перпендикулярны — это даёт ромб. Квадратом \(AMCK\) будет не всегда, а только при дополнительном равенстве диагоналей.
