Решить задачу с объяснением
Ответ:
\[
x=1,\quad x=-\frac92,\quad x=\frac{-7-\sqrt{65}}4,\quad x=\frac{-7+\sqrt{65}}4.
\]
Как решать
В обеих скобках стоит почти одно и то же выражение. Введём замену: \[ t=2x^2+7x-3. \] Тогда \[ 2x^2+7x-8=(2x^2+7x-3)-5=t-5. \] Уравнение принимает вид: \[ (t-5)t-6=0, \] то есть \[ t^2-5t-6=0. \] По теореме Виета: \[ t_1=6,\qquad t_2=-1. \]
Теперь возвращаемся к \(x\).
1) Если \(t=6\): \[ 2x^2+7x-3=6, \] \[ 2x^2+7x-9=0. \] \[ D=7^2-4\cdot2\cdot(-9)=49+72=121. \] \[ x=\frac{-7\pm11}{4}. \] Отсюда: \[ x=1,\qquad x=-\frac92. \]
2) Если \(t=-1\): \[ 2x^2+7x-3=-1, \] \[ 2x^2+7x-2=0. \] \[ D=49-4\cdot2\cdot(-2)=49+16=65. \] \[ x=\frac{-7\pm\sqrt{65}}4. \]
Проверка: например, при \(x=1\) первая скобка равна \(1\), вторая \(6\), и \(1\cdot6-6=0\). Значит, корень подходит.
Обсуждение
2 сообщенияКак проверить корни через теорему Виета?
Через теорему Виета корни проверяют по сумме и произведению, не подставляя их каждый раз в уравнение.
Для \(ax^2+bx+c=0\): \[ x_1+x_2=-\frac ba,\qquad x_1x_2=\frac ca. \]
1. Проверяем промежуточные корни \(t\)
После замены получили: \[ t^2-5t-6=0. \] Корни \(t_1=6,\ t_2=-1\). Проверка: \[ 6+(-1)=5=-\frac{-5}{1}, \] \[ 6\cdot(-1)=-6=\frac{-6}{1}. \] Верно.
2. Проверяем квадратное уравнение \(2x^2+7x-9=0\)
Его корни: \[ x_1=1,\qquad x_2=-\frac92. \] Здесь \(a=2,\ b=7,\ c=-9\), поэтому должно быть: \[ x_1+x_2=-\frac72,\qquad x_1x_2=-\frac92. \] Проверяем: \[ 1+\left(-\frac92\right)=-\frac72, \] \[ 1\cdot\left(-\frac92\right)=-\frac92. \] Всё совпадает.
3. Проверяем \(2x^2+7x-2=0\)
Корни: \[ x_{3,4}=\frac{-7\pm\sqrt{65}}4. \] Сумма: \[ \frac{-7-\sqrt{65}}4+\frac{-7+\sqrt{65}}4 =\frac{-14}{4}=-\frac72. \] Произведение: \[ \frac{-7-\sqrt{65}}4\cdot\frac{-7+\sqrt{65}}4 =\frac{49-65}{16} =-1. \] А по Виету: \[ -\frac ba=-\frac72,\qquad \frac ca=\frac{-2}{2}=-1. \] Тоже совпадает.
Если проверять сразу исходное уравнение
Оно раскрывается так: \[ 4x^4+28x^3+27x^2-77x+18=0. \] Для многочлена \(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0\): \[ x_1+x_2+x_3+x_4=-\frac ba,\qquad x_1x_2x_3x_4=\frac ea. \] В нашем случае: \[ -\frac ba=-\frac{28}{4}=-7, \] \[ \frac ea=\frac{18}{4}=\frac92. \] Сумма всех четырёх корней действительно равна \(-7\), а произведение — \(\frac92\). Значит, корни найдены верно.
