Построй график Отметь вершину (4; 1) Отметь нули (3; 0) и (5; 0) Отметь (0;-15) и симметричную (8;-15) Добавьте точки (2;-3), (6;-3),(1;-8), (7;-8). Соедини точки плавной…
Построй график Отметь вершину (4; 1) Отметь нули (3; 0) и (5; 0) Отметь (0;-15) и симметричную (8;-15) Добавьте точки (2;-3), (6;-3),(1;-8), (7;-8). Соедини точки плавной линией-ветви должны идти вниз
Кратко: это парабола
\[
y=-(x-3)(x-5)=-x^2+8x-15=-(x-4)^2+1,
\]
у неё ветви вниз, вершина — максимум \((4;1)\), нули \(x=3\) и \(x=5\).
Как это получить
Если нули функции — \(3\) и \(5\), то уравнение можно записать так: \[ y=a(x-3)(x-5). \]
Вершина лежит посередине между нулями: \[ x_{\text{верш.}}=\frac{3+5}{2}=4. \] По условию в этой точке \(y=1\). Подставляем: \[ 1=a(4-3)(4-5)=a\cdot 1\cdot(-1)=-a, \] значит \[ a=-1. \]
Получаем: \[ y=-(x-3)(x-5). \] Раскрываем скобки: \[ y=-(x^2-8x+15)=-x^2+8x-15. \] Или в виде с вершиной: \[ y=-(x-4)^2+1. \]
Таблица точек
\[ \begin{array}{c|ccccccccc} x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ \hline y & -15 & -8 & -3 & 0 & 1 & 0 & -3 & -8 & -15 \end{array} \]
Поэтому точки из задания действительно лежат на этой параболе:
- вершина \((4;1)\);
- нули \((3;0)\), \((5;0)\);
- \((0;-15)\) и симметричная \((8;-15)\);
- \((2;-3)\) и \((6;-3)\);
- \((1;-8)\) и \((7;-8)\).
Как строить
- Проведи оси координат.
- Отметь вершину \((4;1)\).
- Отметь нули \((3;0)\) и \((5;0)\).
- Отметь остальные симметричные пары точек.
- Проведи через них плавную кривую. Ветви параболы должны уходить вниз, потому что коэффициент при \(x^2\) отрицательный: \[ a=-1<0. \]
- Ось симметрии — вертикальная прямая \(x=4\). Точки слева и справа от неё должны быть на одной высоте.
Проверка: например, при \(x=0\): \[ y=-0^2+8\cdot0-15=-15, \] а при \(x=8\): \[ y=-8^2+8\cdot8-15=-15, \] значит точки \((0;-15)\) и \((8;-15)\) симметричны относительно \(x=4\).
Обсуждение
4 сообщенияКартина графика
Вот картина графика \(y=-(x-4)^2+1\) — ветви направлены вниз:
● (4; 1)
/ \
● (3; 0) ● (5; 0)
/ \
● (2; -3) ● (6; -3)
/ \
● (1; -8) ● (7; -8)
/ \
● (0; -15) ● (8; -15)
Ось симметрии — vertical line \(x=4\). Точки слева и справа от неё симметричны.
Если нужен готовый файл-рисунок, сохрани код ниже как grafika.svg и открой в браузере:
<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="640" height="520" viewBox="0 0 640 520">
<rect width="640" height="520" fill="white"/>
<text x="320" y="26" text-anchor="middle" font-family="Arial" font-size="18" font-weight="bold">y = −(x − 4)² + 1</text>
<g stroke="#e6e6e6" stroke-width="1">
<line x1="80" y1="73.33" x2="580" y2="73.33"/>
<line x1="80" y1="96.67" x2="580" y2="96.67"/>
<line x1="80" y1="166.67" x2="580" y2="166.67"/>
<line x1="80" y1="283.33" x2="580" y2="283.33"/>
<line x1="80" y1="446.67" x2="580" y2="446.67"/>
</g>
<line x1="60" y1="96.67" x2="600" y2="96.67" stroke="#333" stroke-width="2"/>
<line x1="80" y1="40" x2="80" y2="480" stroke="#333" stroke-width="2"/>
<text x="605" y="92" font-family="Arial" font-size="14" fill="#333">x</text>
<text x="85" y="38" font-family="Arial" font-size="14" fill="#333">y</text>
<g font-family="Arial" font-size="12" fill="#333" text-anchor="middle">
<text x="80" y="115">0</text>
<text x="140" y="115">1</text>
<text x="200" y="115">2</text>
<text x="260" y="115">3</text>
<text x="320" y="115">4</text>
<text x="380" y="115">5</text>
<text x="440" y="115">6</text>
<text x="500" y="115">7</text>
<text x="560" y="115">8</text>
</g>
<g font-family="Arial" font-size="12" fill="#333" text-anchor="end">
<text x="70" y="77">1</text>
<text x="70" y="101">0</text>
<text x="70" y="171">-3</text>
<text x="70" y="288">-8</text>
<text x="70" y="451">-15</text>
</g>
<polyline points="80,446.67 110,359.17 140,283.33 170,219.17 200,166.67 230,125.83 260,96.67 290,79.17 320,73.33 350,79.17 380,96.67 410,125.83 440,166.67 470,219.17 500,283.33 530,359.17 560,446.67"
fill="none" stroke="#1565c0" stroke-width="3" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round"/>
<g fill="#e53935" stroke="#b71c1c" stroke-width="1">
<circle cx="320" cy="73.33" r="6"/>
<circle cx="260" cy="96.67" r="5"/>
<circle cx="380" cy="96.67" r="5"/>
<circle cx="200" cy="166.67" r="5"/>
<circle cx="440" cy="166.67" r="5"/>
<circle cx="140" cy="283.33" r="5"/>
<circle cx="500" cy="283.33" r="5"/>
<circle cx="80" cy="446.67" r="5"/>
<circle cx="560" cy="446.67" r="5"/>
</g>
<g font-family="Arial" font-size="12" fill="#111">
<text x="332" y="66">(4;1)</text>
<text x="250" y="86" text-anchor="end">(3;0)</text>
<text x="390" y="86">(5;0)</text>
<text x="190" y="160" text-anchor="end">(2;-3)</text>
<text x="450" y="160">(6;-3)</text>
<text x="130" y="278" text-anchor="end">(1;-8)</text>
<text x="510" y="278">(7;-8)</text>
<text x="90" y="465">(0;-15)</text>
<text x="550" y="465" text-anchor="end">(8;-15)</text>
</g>
</svg>
Реши 8 задание и построй график
№8:
\[
y=-x^2+8x-15.
\]
Решение по алгоритму
Ветви параболы направлены вниз, потому что коэффициент при \(x^2\): \[ a=-1<0. \]
Вершина параболы: \[ x_v=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2\cdot(-1)}=4, \] \[ y_v=-(4)^2+8\cdot4-15=-16+32-15=1. \] Значит, вершина: \[ (4;1). \] Ось симметрии — прямая \(x=4\).
Нули функции — пересечение с осью \(Ox\): \[ -x^2+8x-15=0, \] \[ x^2-8x+15=0, \] \[ (x-3)(x-5)=0. \] Отсюда: \[ x=3 \quad \text{и} \quad x=5. \] Точки: \[ (3;0),\quad (5;0). \]
Пересечение с осью \(Oy\): при \(x=0\): \[ y=-0^2+8\cdot0-15=-15. \] Точка: \[ (0;-15). \] Симметричная ей относительно оси \(x=4\): \[ (8;-15). \]
Дополнительные точки: \[ y=-x^2+8x-15. \]
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(-15\) | \(-8\) | \(-3\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(-3\) | \(-8\) | \(-15\) |
Точки для построения: \[ (4;1),\ (3;0),\ (5;0),\ (0;-15),\ (8;-15), \] \[ (2;-3),\ (6;-3),\ (1;-8),\ (7;-8). \]
График
● (4; 1)
/ \
● (3; 0) ● (5; 0)
/ \
● (2; -3) ● (6; -3)
/ \
● (1; -8) ● (7; -8)
/ \
● (0; -15) ● (8; -15)
Проведи через эти точки плавную кривую. Вершина \((4;1)\) — самая верхняя точка, ветви уходят вниз. Ось симметрии — \(x=4\).
Функцию также можно записать в виде: \[ y=-(x-4)^2+1. \]
